Vollständige Induktion?
Servus, ich habe deutliche Probleme beim Beweisen von verschiedenen Aussagen mithilfe der vollständigen Induktion. Das grundlegende Prinzip habe ich verstanden.
Sei die Aussage n^5 - n ist für alle n aus den natürlichen Zahlen N+0 durch 5 teilbar.
Ich fange mit dem Induktionsanfang an und wähle das kleinste n, also die 0, und beweise die Aussage A(0). Dann kommt die Voraussetzung, n^5-n mod 5 = 0 . Dann die Behauptung, dass dies auch für alle n+1 gilt, also n^5-n ≡ (n+1)^5 - (n+1) mod 5.
Jetzt ist mein Problem diese stressige Umformung um zu beweisen dass beides äquivalent ist, und da bin ich eigentlich egal bei welchem Beispiel ziemlich aufgeschmissen. Habt ihr da Tipps wie ich das lernen kann?
2 Antworten
Wenn du 5|n^5-n beweisen sollst, dann geht auch
(n+1)^5 - (n+1)
= n^5 + 5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1
= (n^5-n) + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n
= (n^5-n) + 5(n^4+2n^3+2n^2+1)
nach Vor ist n^5-n sicher durch 5 teilbar und rechts sind das alle Vielfache von 5 also auch teilbar durch 5. qed
Die Differenz muss auch durch 5 teilbar sein. Die Reste addieren sich. Das kann man Verallgemeinern, dass wenn zwei aufeinanderfolgende Zahlen der Folge denselben Rest haben, die Differenz den Rest 0 haben. Das könnte man eventuell auch auf anderes übertragen, wo eine bestimmte Eigenschaft gleich bleibt.
Beim binomischen Lehrsatz ist es in der Algebra nützlich zu wissen, dass bei (a + b)ⁿ alle Koeffizienten außer der von aⁿ und der von bⁿ durch n teilbar sind. Das sind auch diejenigen Summanden, die bei der Differenzenbildung wieder subtrahiert werden. Übrig bleiben die in dem Fall durch 5 teilbaren.