Vollständige Induktion rationale Zahlen?
Hey,
Wie ich verstanden habe, lässt sich die vollständige Induktion auf alle abzählbaren Mengen übertragen. Die positiven rationalen Zahlen sind ja abzählbar. Das bedeutet, dass man die v.I. in der Theorie auf diese anwenden könnte. Nur wollte ich folgendes fragen:
Es ist ja so, dass man für beispielsweise natürliche und Ganze Zahlen die Nachfolgerfunktion n+1 definieren kann -> mit +1 folgt immer der Nachfolger. Wenn ich also einen Satz beweise, müsste ich nur zeigen, dass aus n, n+1 folgt.
Bei den rationalen Zahlen hingegen, kann (oder bin ich falsch) keine Nachfolgerfunktion abgeleitet werden. Wie könnte man dann zeigen, dass aus n der Nachfolger folgt (mathematisch in einem Beweis). Dürfte man die +1 vielleicht als Synonym für den Nachfolger benutzen?
Also angenommen es gäbe eine Gleichung die für alle positiven rationalen Zahlen ab 3 gelte. Ich müsste ja nur zeigen, dass es für den Nachfolger von (mindestens) 3 gilt, sodass die Aussage allgemeingültig ist. Dürfte ich in diesem Beweis +1 als Synonym verwenden, oder wäre das falsch?
2 Antworten
Bei den rationalen Zahlen hingegen, kann (oder bin ich falsch) keine Nachfolgerfunktion abgeleitet werden.
Das ist so falsch. Du kannst z.B. mittels des Diagonalargumentes eine surjektive Funktion aufbauen, indem du einfach von n auf (n, m) abbildest. Die Funktion ist auf NxN bijektiv, aber auf Q lediglich surjektiv (weil kürzbare Brüche eben mehrfach vorkommen). Die bijektive Funktion auf Q sieht komplizierter aus, da die Fallunterscheidung mit dem Kürzen gemacht werden muß. Weiter ist die Funktion auf Q nicht monoton und auf NxN ist sowieso keine Monotonie definierbar. Ich frage mich aber worauf du mit diesen ganzen Gedankenkonstrukten hinaus willst. Ich kenne keine Induktionsbeweise, die lediglich auf Q zugeschnitten sind. Auf Q stehen wesentlich mächtigere Mittel zur Verfügung, da Q ein vollständig geordneter Körper ist. Auch dein am Ende genanntes Beispiel ist zu abstrakt um damit etwas tun zu können.
Also die Frage ist folgende:
Man braucht ja eine Nachfolgerfunktion, um den Beweis durchzuführen. Für ganze und natürliche Zahlen ist das kein Problem (+1). Bei den rationalen Zahlen, kann man je nachdem eine surjektive oder bijektive Funktion ableiten, sodass die v.I. theoretisch auf die rationalen Zahlen anwendbar ist, aber eine richtige Nachfolger funkriln ist nicht ableitbar?
Natürlich ist eine "richtige" Nachfolgerfunktion ableitbar, ich habe geschrieben wie das geht. Sie ist nur nicht trivial darstellbar. Und sie wäre auch Nutzlos, da man jeden Beweis der auf Abzählbarkeit beruht auf N zurückführen kann, d.h. ein Induktionsbeweis in Q kann genau so gut in N geführt werden.
Beweise in Q verwenden statt dessen eben die Körper- und Ordnungseigenschaften.
Hey, was ich mich frage:
Ist es aber nicht so, dass sobald man eine Menge auf die natürliche Zahlen abbilden kann, es ein isomorphes Zahlensystem ist? Und wenn es so ist, ist es dann nicht so, dass es sich bei diesen bijektiv abgebildeten Zahlensystemen um natürliche Zahlen handelt? Als Beispiel:
Wenn man die natürlichen Zahlen aur die ganzen Zahlen bijektiv abbildet, dann definiert man ja automatisch bei den ganzen Zahlen einen Startwert. Jede Zahl hat auch nur 1 Nachfolger und (vielleicht bin ich auch falsch) dann würde ja diese bijektive Abbildung, also in diesem Beispiel die ganzen Zahlen, alle peano axiome erfüllen. Man probiert doch eigentlich also nur die eine Zahlenmenge auf die andere abzubilden und auf die peano axiome anzupassen.
Ich dachte, isomorph (bezüglich der natürlichen Zahlen) bedeutet, dass sich zwei Zahlenmengen gleich verhalten. Also man kann ja auch eine eigene Zahlenmenge definieren, erfüllt diese die Peano axiome, sind das in diesem Sinne natürliche Zahlen. Da es unendlich viele solcher Systeme geben kann, verhalten sich beide Mengen isomorph zueinander. Und dann dachte ich natprlich, wenn man bspw die pos rationalen Zahlen auf die natürlichen Zahlen abbildet, müssten doch automatisch alle peano axiome erfüllt sein: Startwert, Nachfolger etc
Danke für deine Antworten!
Du müsstest für Deine Argumentation eine Abzählung f(n), n \in N definieren, die wo aus n > m folgt, dass f(n) > f(m). Ich halte das für extrem unwahrscheinlich, dass es eine gibt, weil die wesentliche Eigenschaft einer solchen Abzählung ist, dass sie sich um den Nullpunkt herum „ausbreitet“. Für die oben genannte Eigenschaft müsstest Du aber bei sehr großen Nennern anfangen und immer kleiner werden.
Hey,
vielen Dank für deine Antwort wieder.
Was genau meinst du mit "mächtigerer" Mittel?
Verstehe ich richitg, dass also die v.I. auf alle abzählbaren Mengen anwendbar ist und dass man anstatt eine Nachfolgerfunktion eine bijektive (gekürzte Brüche) bilden kann um theoretisch zu zeigen, dass es für postiven rationale Zahlen gehen müsste (auch, wenn es so keine rationale "nachfolgerfunktion" gibt?)