5 Penano Axiom?
Hey,
ich habe zurzeit Schwierigkeiten, das Axiom genau zu verstehen: Ich habe immer gedacht, dass es einfach bedeutet, dass wenn 0 und die Nachfolger von n in einer Zahlenmenge enthalten ist, dass die Zahlenmenge aus natürlichen Zahlen besteht.
Aber könnte man nicht die hälfte der rationalen Zahlen nehmen: Die haben auch die 0 und Nachfolger (wenn man beispielsweise Nachfolger als +1 definiert)
Außerdem habe ich erfahren, dass genau dieses Axiom für die vollständige Induktion ausschlaggebend ist. Ich würde gerne verstehen wieso. Ich habe auch folgende Erklärung gelesen, die ich nicht ganz verstehe: Das 5. Axiom besagt, dass jede Menge, die die Voraussetzungen des Induktionsbeweises erfüllt, eine Obermenge dieser Menge ist. Aber die Menge der natürlichen Zahlen ist offensichtlich keine Obermenge dieser Menge M.
Anhand dieses Axioms lässt sich wshl auch ableiten, wieso die vollständige Induktion ausschließlich für natürliche Zahlen geht. Das interessiert mich wirklich so sehr, deswegen danke ich wirklich jedem, der mir hierbei hilft xd ;)
1 Antwort
Das 5te besagt doch genau dass die Rationalen Zahlen eine Obermenge der natürlichen Zahlen ist.
Anders gesagt die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge einer jeden Menge die die 0 bzw 1 (je nachdem ob N oder N0) und sowie n und deren nachfolger enthält.
Die Induktion beruht auf der Überlegung dass wenn eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen K die 1 enthält sowie die nachfolger für jedes n dann gilt K=N.
Die Induktion funktioniert ja jetzt so dass die Aussage zunächst für 1 bewiesen wird. Anschließend wird sie für die Nachfolger bewiesen. Aufgrund obiger Definition wird also die die Aussage zunächst für eine Untermenge K bewiesen da diese Untermenge aber die 1 sowie alle Nachfolger enthält gilt K=N womit die Aussage automatisch N bewiesen ist.