5 Penano Axiom?
Hey,
ich habe zurzeit Schwierigkeiten, das Axiom genau zu verstehen: Ich habe immer gedacht, dass es einfach bedeutet, dass wenn 0 und die Nachfolger von n in einer Zahlenmenge enthalten ist, dass die Zahlenmenge aus natürlichen Zahlen besteht.
Aber könnte man nicht die hälfte der rationalen Zahlen nehmen: Die haben auch die 0 und Nachfolger (wenn man beispielsweise Nachfolger als +1 definiert)
Außerdem habe ich erfahren, dass genau dieses Axiom für die vollständige Induktion ausschlaggebend ist. Ich würde gerne verstehen wieso. Ich habe auch folgende Erklärung gelesen, die ich nicht ganz verstehe: Das 5. Axiom besagt, dass jede Menge, die die Voraussetzungen des Induktionsbeweises erfüllt, eine Obermenge dieser Menge ist. Aber die Menge der natürlichen Zahlen ist offensichtlich keine Obermenge dieser Menge M.
Anhand dieses Axioms lässt sich wshl auch ableiten, wieso die vollständige Induktion ausschließlich für natürliche Zahlen geht. Das interessiert mich wirklich so sehr, deswegen danke ich wirklich jedem, der mir hierbei hilft xd ;)
3 Antworten
Das 5te besagt doch genau dass die Rationalen Zahlen eine Obermenge der natürlichen Zahlen ist.
Anders gesagt die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge einer jeden Menge die die 0 bzw 1 (je nachdem ob N oder N0) und sowie n und deren nachfolger enthält.
Die Induktion beruht auf der Überlegung dass wenn eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen K die 1 enthält sowie die nachfolger für jedes n dann gilt K=N.
Die Induktion funktioniert ja jetzt so dass die Aussage zunächst für 1 bewiesen wird. Anschließend wird sie für die Nachfolger bewiesen. Aufgrund obiger Definition wird also die die Aussage zunächst für eine Untermenge K bewiesen da diese Untermenge aber die 1 sowie alle Nachfolger enthält gilt K=N womit die Aussage automatisch N bewiesen ist.
Untermenge=Teilmenge
Ja.
Ich verstehe eigentlich was du mir sagen willst, nur verstehe ich nicht so ganz, wieso das 5 Axiom beispielsweise die hälfze der rationalen Zahlen ausschließt.
Tut es ja nicht es sagt, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind.
Was die natürlichen Zahlen sind wird durch alle 5 Axiome definiert.
Und wieso ist der Induktionsstart für den allgemeinen Sinn der Induktion wichtig: man kann ja sagen, wenn es für alle natürlichen Zahlen gilt, dann auch für deren Nachfolger.
Weil wenn es für n gilt es auch für n>100 erst gelten kann.
Erst wenn es für n=1 gilt, gilt es für die erste Zahl und mit den Nachfolgern automatisch für 2,3,4, usw.
wieso darf man beispielsweise nicht sagen, wenn es für rationale Zaheln gilt
Weil die Rationalen Zahlen anders definiert sind eine rationale Zahl hat keinen direkt definierten Nachfolger weil zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele andere liegen.
dann auch für die addiert mit einem beliebigen Wert.
Wenn du so den Nachfolger bestimmst dann bist du wieder bei den natürlichen Zahlen.
du kannst eine Behauptung ja auch so ableiten.
Nehmen wir die behauptung f(n)=g(n) und sagen diese gilt für alle n in den Natürlichen Zahlen, was sich durch Induktion beweisen lässt, dann gilt auch pi*f(n)=pi*g(n) und das obwohl die linke und rechte Seite dieser Gleichung nie eine natürliche Zahl erzeugen wird.
Hallo, vielen dank für deine Antwort,
Tut es ja nicht es sagt, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen sind.
Ich verstehe es leider immer noch nicht: Ich habe soeben mitbekommen, dass im X mehr als alle natürliche Zahlen enthalten sein sollen. N muss also immer eine Teilermenge von X sein. Aber was ist den jetzt genau X? Warum kann X nicht einfach aus allen natürlichen Zahlen bestehen, was sagt diese Definition aus. Als würde man sagen, man hat einen Startwert, n und deren Nachfolger, dann ist es ein e Teilmenge von einer ganz anderen Menge (aber von welcher?)
Weil wenn es für n gilt es auch für n>100 erst gelten kann.
Erst wenn es für n=1 gilt, gilt es für die erste Zahl und mit den Nachfolgern automatisch für 2,3,4, usw.
Also ja, in der Anwendung (im Beweis bspw) macht es auch Sinn: Man definiert einen Startpunkt. Aber sagen wir Mal etwas gilt wirklich für alle natürlichen Zahlen (ab 0),dann bräuchte ich ja keinen Start. Weil wenn ich sagen alle natürlichen Zahlen, dann meine ich doch ab 0? Wobei ja eine natürliche Zahl auch die positiven rationalen Zahlen beschreiben kann, wenn man eine Zuordnung für einen Nachfolger (Diagonalitätsbeweis) festlegt.
Wenn du so den Nachfolger bestimmst dann bist du wieder bei den natürlichen Zahlen.
Okay, Beispiel:
Ich sage, 0 ist mein Startwert und jeder nachfolger ist + pi
wäre das jetzt alles natürliche Zahlen? Ich definiere ja schließlich Nachfolger. Ich verstehe nur nicht, inwiefern man alle Zahlen "berücksichtigen" muss. Weil in der Theorie hätte ich mit diesem Vorgehen keinen Nachfolger für 2. Muss ich aber die 2 zur Zahlenmenge definieren?!?=!
Habs mir nochmal 30 Mal durchgelesen, dieser Satz ist sehr wichtig:
Die Induktion beruht auf der Überlegung dass wenn eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen K die 1 enthält sowie die nachfolger für jedes n dann gilt K=N.
Also ja, das stimmt: Wenn ich eine Teilmenge D habe und die 1 und alle deren Nachfolger drinnen hat, dann sind alle darin enthaltenden Zahlen natürliche Zahlen.
Aber inwiefern wird das bei der vollständigen Induktion benutzt: Für mich hat es bei der vollständigen Induktion erst dann klick gemacht, als man gesagt hat, gilt das für alle natürlichen Zahlen, dann auch für die und deren Nachfolger (aber das ist auch einfach logisch, also alle Zahlen, dann auch +1). Aber bei der Voraussetzung, es gilt für alle natürlichen Zahlen, geht es ja nicht um die Frage, ob wenn ein Zahlenmenge alle seine Nachfolger enthält, alle natürlichen Zahlen abbildet. Es geht ja irgendwie mehr darum, durch diese zwei Annahmen deduktiv abzuleiten, dass es so ist.
Und nochmal zur Frage, warum es nur für natürliche Zahlen gilt: Ist es jetzt wirklich einfach so, dass man sagt, wenn man einen Nachfolger definiert, handelt es sich wieder um natürliche Zahlen?
Wie sind rationale Zahlen definiert?
Ich habe soeben mitbekommen, dass im X mehr als alle natürliche Zahlen enthalten sein sollen.
Nein X ist irgendeine beliebige nicht näher definierte Menge. Also X kann N sein, X kann R sein, X kann Z sein, oder X kann auch irgendeine Menge sein welche du selbst definierst.
Das 5te Axiom sagt nun, dass wenn X die 1 enthält und alle Nachfolger der 1 dann enthält X alle natürlichen Zahlen. Aus diesem Axiom kann man nun ableiten, dass die Rationalen Zahlen, die Reellen Zahlen, die Komplexen Zahlen usw nun alle die natürlichen Zahlen beeinhalten.
Warum kann X nicht einfach aus allen natürlichen Zahlen bestehen, was sagt diese Definition aus.
Kann es ja. X ist das was du sagst dass es ist. Das 5te Axiom lässt dich lediglich prüfen ob deine Definition von X alle natürlichen Zahlen enthält oder nicht.
Als würde man sagen, man hat einen Startwert, n und deren Nachfolger, dann ist es ein e Teilmenge von einer ganz anderen Menge (aber von welcher?)
Das geht an dem Axiom vorbei.
Aber sagen wir Mal etwas gilt wirklich für alle natürlichen Zahlen (ab 0),dann bräuchte ich ja keinen Start.
Doch dann ist eben 0 dein Start. Du definierst deinen Start ja eben mit deiner Aussage ab 0.
Weil wenn ich sagen alle natürlichen Zahlen, dann meine ich doch ab 0?
Richtig aber wenn du eine Aussage beweisen willst, dann musst du diese Prüfung machen. Wenn du sie nicht machst beweist du deine Aussage lediglich für beliebige n aber eben nicht alle Natürlichen Zahlen. Zudem sind die Ursprünglichen Peano Axiome ohne die 0 definiert. Daher steht da auch die 1. Die 0 wurde später hinzugefügt um ein neutrales Element der Addition zu erhalten.
Nehmen wir die einfache Gleichung n - 100 = k wobei k und n natürliche Zahlen sind. Die kann ich natürlich für n und n+1 beweisen. Für n < 100 geht es aber nicht, somit gilt diese Gleichung nicht für alle natürlichen Zahlen. Also der Test mit n = 1 bzw n = 0 ist nicht optional sondern muss gemacht werden.
Wobei ja eine natürliche Zahl auch die positiven rationalen Zahlen beschreiben kann, wenn man eine Zuordnung für einen Nachfolger (Diagonalitätsbeweis) festlegt.
Richtig nur sind die Peano Axiome hier nicht mehr Anwendbar.
Ich sage, 0 ist mein Startwert und jeder nachfolger ist + pi
Also du sagst f(n) = pi * n und bist genau bei dem Beispiel welches ich oben gebracht habe.
Den Beweis mittels Induktion machst du dann für f(n) = n. Wenn diese Aussage für alle natürlichen Zahlen stimmt, dann stimmt sie logischerweise auch immer noch wenn du sie mit einer beliebigen Zahl multiplizierst.
wäre das jetzt alles natürliche Zahlen?
Nein da in den Peano Axiomen der Nachfolger per Definition n + 1 ist.
Das folgt direkt aus dem Additionstheorem und der Aussage dass der Nachfolger von 0 die 1 ist.
Also die natürlichen Zahlen sind 0,1,2,3,4,5.... das ist so mit diesen Axiomen definiert.
Weil in der Theorie hätte ich mit diesem Vorgehen keinen Nachfolger für 2.
Wieso nicht? Der Nachfolger für 2 wäre 2 + pi nach deiner Definition. Wenn deine Menge mit 2 Startet dann ist natürlich 2 in dieser Menge per Definition enthalten und ist in diesem Fall sogar die einzige natürliche Zahl in dieser Menge.
Würdest du hingegen als erstes Element die 0 nehmen, dann wäre 2 natürlich kein Element deiner Menge.
Aber inwiefern wird das bei der vollständigen Induktion benutzt
Du machst doch genau das.
Beweise deine Aussage für 0 bzw 1.
Anschließend beweist du deine Aussage für alle Nachfolger.
Damit beweist du deine Aussage automatisch für alle natürlichen Zahlen.
Aber bei der Voraussetzung, es gilt für alle natürlichen Zahlen, geht es ja nicht um die Frage, ob wenn ein Zahlenmenge alle seine Nachfolger enthält,
Doch genau darum geht es. Du führst einen Beweis über einer Menge.
Du sagst g(n) = f(n) mit n ist ein Element von der beliebigen Menge X.
jetzt weißt du nach die Aussage gilt für n = 1 und für alle Nachfolger.
Dann gilt (aus dem 5ten Axiom) dass X alle natürlichen Zahlen enthält und damit hast du deine Aussage für alle n aus N bewiesen.
Ist es jetzt wirklich einfach so, dass man sagt, wenn man einen Nachfolger definiert, handelt es sich wieder um natürliche Zahlen?
Nein die natürlichen Zahlen sind eindeutig definiert und die Peano Axiome lassen nur 0,1,2,3,4,5.... als natürliche Zahlen zu.
Du darfst nicht immer nur ein Axiom betrachten sondern du musst alle Axiome betrachten.
Im wesentlichen werden die Natürlichen Zahlen definiert über
- 0 ist eine natürliche Zahl
- der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist eine natürliche Zahl
- 1 ist der Nachfolger von 0
Die anderen Axiome definieren nun Rechenvorschriften wie zB die Gleichheitsrelation.
Wie sind rationale Zahlen definiert?
Als p/n wobei p und n eine natürliche Zahl sind.
Es ist also keine axiomatische Definition wie bei den natürlichen Zahlen sondern sie werden davon abgeleitet.
Irrationale Zahlen werden nun definiert, dass sie nicht rational sind.
Wenn Q die Menge der Rationalen Zahlen sind und I die Menge der Irrationalen dann werden die Reelen Zahlen definiert über die Mengenvereinigung von Q und I.
Da Q alle natürlichen Zahlen enthält enthalten nun auch die reellen Zahlen alle natürlichen Zahlen.
Richtig aber wenn du eine Aussage beweisen willst, dann musst du diese Prüfung machen. Wenn du sie nicht machst beweist du deine Aussage lediglich für beliebige n aber eben nicht alle Natürlichen Zahlen. Zudem sind die Ursprünglichen Peano Axiome ohne die 0 definiert. Daher steht da auch die 1. Die 0 wurde später hinzugefügt um ein neutrales Element der Addition zu erhalten.
Nehmen wir die einfache Gleichung n - 100 = k wobei k und n natürliche Zahlen sind. Die kann ich natürlich für n und n+1 beweisen. Für n < 100 geht es aber nicht, somit gilt diese Gleichung nicht für alle natürlichen Zahlen. Also der Test mit n = 1 bzw n = 0 ist nicht optional sondern muss gemacht werden.
Erstmal: Danke, deine Erklärungen sind echt hilfreich.
Das verstehe ich nicht ganz: Also ja, wenn ich bspw eine Gleichung habe, die erst ab n 100 geht, dann geht sie auch nur ab n 100. Aber ich verstehe nicht: wenn ich hier den Start weglasse und sage, wenn es für alle n gilt dann auch für die nachfolger von n und rausbekomme, dass es stimmt, was sage ich damit aus?
Weil ich habe ja eigentlich bewiesen, dass es für alle N gilt, sehe aber, dass es ja doch anscheinend falsch ist, da es nicht für alle n gilt (beispielsweise 1) (aber ich habe ja vorgeschrieben, wenn es für ALLE N gilt"
-> müsste ich dann nicht schreiben, wenn es für alle N ab 100 gilt
-> wieso komme ich dabei nicht auf ein Widerspruch? Wieso kann ich die Implikation erfolgreich für alle N zeigen, obwohl es nicht für alle N gilt.
Für mich macht es ja logisch Sinn den kleinsten Wert N0 einzusetzen, um quasi die Lösungsmenge der Gleichung abzugrenzen.
Was ich dabei nicht verstehe: Wenn ich bspw weiß, dass die Gleichung ab N 100 gilt und n 100 einsetze und zeige, die Aussage ist wahr, dann habe ich ja trotzdem nicht gezeigt, dass die für n 99 falsch ist. Ich gehe ja davon aus, dass das, was in der Voraussetzungen stimmt, richtig ist.
Also du sagst f(n) = pi * n und bist genau bei dem Beispiel welches ich oben gebracht habe.
Den Beweis mittels Induktion machst du dann für f(n) = n. Wenn diese Aussage für alle natürlichen Zahlen stimmt, dann stimmt sie logischerweise auch immer noch wenn du sie mit einer beliebigen Zahl multiplizierst.
Danke. Genau das hat mich nämlich bedrückt, dass heißt anstatt dem Nachfolger kann auch eine andere Zahl frei gewählt werden:
-> Der Sinn ist ja derselbe, ich kann auch die Implikation auch mit +pi machen.
Nein da in den Peano Axiomen der Nachfolger per Definition n + 1 ist.
Das folgt direkt aus dem Additionstheorem und der Aussage dass der Nachfolger von 0 die 1 ist.
Okay, also ich verstehe richtig, dass die +1 als Nachfolger so festgelegt ist(nach Peano). Aber trotzdem kann ich andere Nachfolger festlegen, nach Deadkind?
Wieso nicht? Der Nachfolger für 2 wäre 2 + pi nach deiner Definition. Wenn deine Menge mit 2 Startet dann ist natürlich 2 in dieser Menge per Definition enthalten und ist in diesem Fall sogar die einzige natürliche Zahl in dieser Menge.
Würdest du hingegen als erstes Element die 0 nehmen, dann wäre 2 natürlich kein Element deiner Menge.
Da würde ich aufpassen: Nachfolger können ja gewählt werden, sofern jede Zahl einen Nachfolger hat. Es ist hier ja keine Addition. Der Nachfolger von 3 x pi könnte troztdem 1 sein.
Muss eine Nachfolgerfunktion bestimmt werden?
Doch genau darum geht es. Du führst einen Beweis über einer Menge.
Du sagst g(n) = f(n) mit n ist ein Element von der beliebigen Menge X.
jetzt weißt du nach die Aussage gilt für n = 1 und für alle Nachfolger.
Dann gilt (aus dem 5ten Axiom) dass X alle natürlichen Zahlen enthält und damit hast du deine Aussage für alle n aus N bewiesen.
Es hat fast klick gemacht xd:
Ich mache einen Beweis für eine Menge X und weiß, dass die Menge einen Startwert hat, was meiner N0 gleicht. Ich weiß, dass die Aussage für den Nachfolger gilt. Aber ich verstehe nicht, wie du das aus dem 5 Axiom abliest: Dann gilt (aus dem 5ten Axiom) dass X alle natürlichen Zahlen enthält und damit hast du deine Aussage für alle n aus N bewiesen.
Das macht für mich generell einfach Sinn. Aber wie liest du das genau da ab? Versteht man das so, dass wenn quasi der Nachfolger enthalten ist, der "Vorgänger (n xd) " auch da ist?
wenn ich hier den Start weglasse und sage, wenn es für alle n gilt dann auch für die nachfolger von n und rausbekomme, dass es stimmt, was sage ich damit aus?
Naja eben gar nichts. Daher musst du es für n=1 und n' (Nachfolger) beweisen.
Weil ich habe ja eigentlich bewiesen, dass es für alle N gil
Nein eben nicht weil du es für n=1 nicht bewiesen hast.
aber ich habe ja vorgeschrieben, wenn es für ALLE N gilt
Vorschreiben kannst du nicht, entweder es ist bewiesen. In diesem Fall lässt es sich eben nicht beweisen, dass es für alle n aus N gilt.
müsste ich dann nicht schreiben, wenn es für alle N ab 100 gilt
Das geht aber es gilt eben nicht für alle n aus N sondern eben für alle n aus N für welche gilt n > 100. Es gilt also nur für eine Teilmengen der Natürlichen Zahlen.
Wieso kann ich die Implikation erfolgreich für alle N zeigen, obwohl es nicht für alle N gilt
Tut sie ja eben nicht. Zum Induktionsbeweis musst du die Aussage für n =1 und alle Nachfolger zeigen. Der Test mit den Nachfolgern alleine reicht eben nicht aus.
Was ich dabei nicht verstehe: Wenn ich bspw weiß, dass die Gleichung ab N 100 gilt und n 100 einsetze und zeige, die Aussage ist wahr, dann habe ich ja trotzdem nicht gezeigt, dass die für n 99 falsch ist.
Richtig, aber du versucht eben das ganze nur für n > 100 zu beweisen. Wenn du wissen willst ob es für 99 gilt dann musst du eben beweisen dass es für n >= 99 gilt. Du kannst nur das Beweisen oder Widerlegen für was du den Beweis durchführst.
Ich gehe ja davon aus, dass das, was in der Voraussetzungen stimmt, richtig ist.
Nein du beweist, dass es richtig ist und die Grundlage dieses Beweises sind die Peano Axiome bzw abgewandelte Formen dafür. Axiome selbst kannst du nicht beweisen, da sie Axiome sind.
Danke. Genau das hat mich nämlich bedrückt, dass heißt anstatt dem Nachfolger kann auch eine andere Zahl frei gewählt werden:
Prinzipiell ja nur sinds dann eben nicht mehr die natürlichen Zahlen.
Der Sinn ist ja derselbe, ich kann auch die Implikation auch mit +pi machen.
Richtig nur müsstest du erst beweisen, dass für deine Zahlenmenge die Addition usw unverändert gilt. Daher machst du den Beweis in N und multiplizierst mit pi.
Okay, also ich verstehe richtig, dass die +1 als Nachfolger so festgelegt ist(nach Peano).
Korrekt.
Aber trotzdem kann ich andere Nachfolger festlegen, nach Deadkind?
Ja allerdings beschreibst du nun nicht mehr N sondern eine von dir Definierte Menge.
Der Nachfolger von 3 x pi könnte troztdem 1 sein.
Wenn du eine Bildungsvorschrift findest ja. Aber da bist du ohnehin nicht mehr in den Natürlichen Zahlen, daher musst du deine eigenen Bildungsvorschriften generieren und alle notwendigen Eigenschaften daraus ableiten, wie die Addition, Multiplikation ob es inverse Elemente gibt usw.
Muss eine Nachfolgerfunktion bestimmt werden?
Ja natürlich du musst eine Eindeutige Bildungsvorschrift angeben sonst kannst du keine Menge definieren.
Das ist genau das 5te Axiom eine Menge welche 0 enthält sowie jeden Nachfolger der 0 enthält die Natürlichen Zahlen.
Das was du machst ist, dass du zunächst ausgehst dass deine Vermutung für die Menge X gilt, du kennst diese Menge allerdings nicht.
Jetzt zeigst du deine Aussage für 0 damit muss X 0 enthalten. Dann zeigst du die Aussage für alle nachfolger der 0. Folglich muss X auch alle Nachfolger der 0 enthalten.
Das 5te Axiom sagt nun, dass X aufgrund dieser Eigenschaften jede natürliche Zahl enthalten muss, somit gilt deine Aussage für alle natürlichen Zahlen.
X kann natürlich mehr Elemente enthalten als nur die Natürlichen Zahlen, der Induktionsbeweise sagt dir aber nur, dass es für alle natürlichen Zahlen gilt aber nicht für alle Zahlen in X
Das mit den N0 ist etwas schwierig;
Das bedeutet, ich kann nur eine Wahrheit für eine fortsetzende Menge ab einem Start beweisen.
Das macht für mich so Sinn (also jetzt auf die Realität bezogen)
Aber ich verstehe nicht, bzw klickt es nicht: Wenn ich aber dann für die weitere Menge den Ansatz wählen kann, wenn für n dann für n´ ,
Wieso kann ich nicht ganz am Anfang sagen, dass es für alle n gilt, wenn es für alle n´ gilt (gilt es ja offensichtlich nicht, vgl erst ab 100).
Nochmal zu den X: wieso kann ich aber bspw nicht sagen, wenn es alle nachfolger der nachfolger enthalten sind, dann muss es ja einen Ursprung , also N0 geben?
Das bedeutet, ich kann nur eine Wahrheit für eine fortsetzende Menge ab einem Start beweisen.
Aus den Axiomatischen Aufbau der natürlichen Zahlen heraus schon. Jeder Beweis welcher nicht aus den Axiomen heraus geführt wird hängt hier bereits in der Luft.
Wieso kann ich nicht ganz am Anfang sagen, dass es für alle n gilt, wenn es für alle n´ gilt
Weil n kein Wert ist sondern irgendeine beliebige Zahl ist. n kann alles sein. Alles was du zeigst ist, dass es ein n gibt für welchen es für alle Nachfolger gilt und damit für die Nachfolger der Nachfolger usw, du hast aber in dem Fall keinen Fixpunkt bestimmt.
Erst wenn du den Nachweis für n = 1 erbringst wird draus dass du den Nachweis für 1 und alle Nachfolger der 1 geführt hast.
wieso kann ich aber bspw nicht sagen, wenn es alle nachfolger der nachfolger enthalten sind, dann muss es ja einen Ursprung , also N0 geben?
Ja richtig, aber du hast daraus diesen Ursprung nicht bestimmt, dieser Ursprung kann immer noch beliebig gewählt werden.
Erst wenn du über die Definition 0 ist die erste natürliche Zahl den Urpsrung setzt ist das ganze eindeutig definiert.
Richtig nur sind die Peano Axiome hier nicht mehr Anwendbar.
Was hast du hier mit nicht mehr anwendbar gemeint?
Damit ich das also richtig verstehe, wenn ich n1 bestimme, lege ich den Ursprung fest, ab wann ich quasi die Nachfolger bestimme. Ich schließe aber nicht aus, dass wenn bspw n1 50 ist, es für 49 nicht geht. Aber wie mache ich das kenntlich? Müsste es dann nicht heißen,
wenn es für n0 gilt,
dann auch für alle werte ab n0 und deren Nachfolger.
Zur Menge X: Ich habs mir jetzt Mal so vorgestellt: Ein Nachfolger einer Zahl, ist ja quasi der Vorgänger einer anderen Zahl:
von 2 ist der Nachfolger 3 und von 3 4, Wenn es also für alle Nachfolger gilt, dann gilt es ja für 3 und 4, obwohl die 4 ja der Nachfolger von der 3 ist.
Zudem: Ist es richtig, dass die 0 im füfnten Axiom ein Element für N0 ist?
Zudem (2): zusammengefasst: wir haben eine feste Reihenfolge für n definiert, wenn ich aber eine andere definiere, dann sind ex isomorphe systeme, eig auch natürliche Zahlen (von den Eigenschaften), aber verhalten sich anders (z.b rechnen)
Und das 5 Axiom ist das Induktiuonsaxiom, weil es genau die Teilermenge rauskristallisiert, die wir unersuchen
Bräuchte man aber einen Startwert, wenn eine Gleichung für wirklich alle natürlichen Zahlen gelten soll´?
Was hast du hier mit nicht mehr anwendbar gemeint?
Diese Axiome machen nur Aussagen über natürliche Zahlen und über sonst nichts. Du kannst maximal noch Aussagen über Teilmengen der natürlichen Zahlen treffen aber sie erlauben keine Aussage in anderen Zahlenbereichen.
Da Pi keine natürliche Zahl ist, kannst du im Allgemeinen hier auch nicht mehr die Peano Axiome verwenden.
Damit ich das also richtig verstehe, wenn ich n1 bestimme, lege ich den Ursprung fest, ab wann ich quasi die Nachfolger bestimme.
Genau.
Ich schließe aber nicht aus, dass wenn bspw n1 50 ist, es für 49 nicht geht.
Richtig, du führst deinen Beweis ja nur ab der Zahl 50 und erhältst damit keine Aussagen über Zahlen kleiner 50.
Aber wie mache ich das kenntlich?
Was willst du machen? Du kannst in der Mathematik lediglich einen Beweis aufstellen. Dieser Beweis kann sein, dass eine Vermutung gilt oder nicht, ein Beweis widerlegt aber nichts er bestätigt nur dass die Getroffenen Aussage korrekt ist.
Willst du etwas widerlegen dann Beweist du das Gegenteil.
Müsste es dann nicht heißen, wenn es für n0 gilt, dann auch für alle werte ab n0 und deren Nachfolger.
Tut es ja auch.
Ich habs mir jetzt Mal so vorgestellt: Ein Nachfolger einer Zahl, ist ja quasi der Vorgänger einer anderen Zahl
Nein er ist der Nachfolger. Den Begriff Vorgänger musst du gesondert betrachten und er ist in den natürlichen Zahlen auch nicht wohl definiert, weil die 0 keinen Vorgänger hat, daher definieren die Axiome auch nur den Nachfolger.
Wenn es also für alle Nachfolger gilt, dann gilt es ja für 3 und 4, obwohl die 4 ja der Nachfolger von der 3 ist.
Ja klar wenn etwas für 3 und alle Nachfolger gilt dann gilt es für 3 für den Nachfolger der 3 also 4, für den Nachfolger der 4 5 usw.
Eben n' = n+1 als definition des Nachfolgers, da n ja beliebig ist kann n durchaus der Nachfolger einer anderen Zahl sein.
wir haben eine feste Reihenfolge für n definiert, wenn ich aber eine andere definiere, dann sind ex isomorphe systeme, eig auch natürliche Zahlen (von den Eigenschaften), aber verhalten sich anders (z.b rechnen)
Das müsstest du im Einzelfall nachweisen ob sie die selben Eigenschaften haben. Wenn du die Nachfolger über n' = n! definierst dann musst du eben erst herausfinden und Beweisen wie die Addition usw auf dieser Zahlenmenge definierbar ist. Und auf dieser Menge gelten nun auch die Peano Axiome nicht mehr. Also ein Induktionsbeweis kann hier nicht geführt werden, du kannst dir lediglich aus den Peano Axiomen und der Bildungsvorschrift deiner Menge neue Regeln und Beweise ableiten.
Und das 5 Axiom ist das Induktiuonsaxiom, weil es genau die Teilermenge rauskristallisiert, die wir unersuchen
Es kristallisiert sie nicht heraus sondern es zeigt dass die Menge die Natürlichen Zahlen als Teilmenge enthält.
Bräuchte man aber einen Startwert, wenn eine Gleichung für wirklich alle natürlichen Zahlen gelten soll´?
Da die natürlichen Zahlen selbst einen definierten Startwert haben (n = 0) muss man natürlich nachweisen dass die Menge auch diesen Wert enthält.
Diese Axiome machen nur Aussagen über natürliche Zahlen und über sonst nichts. Du kannst maximal noch Aussagen über Teilmengen der natürlichen Zahlen treffen aber sie erlauben keine Aussage in anderen Zahlenbereichen.
Vielen Dank für deine Antwort, echt nett von dir!
Nochmal zu den isomorphen, beziehungsweise "Zahlensystemen" : Also die Peano Axiome definieren die natürlichen Zahlen. Für diese haben wir, beziehunsgweise Peano Zahlenreinfolgen definiert, 1 2 3 4 5 6 7 8 ... -> Deswegen sprechen wir hier von den natürlichen Zahlen
Die Axiome aber selber, reden nicht von 1 2 3 4. Deswegen können auch Reihenfolgen wie pi 2 8 90 natürliche Zahlen sein (das sind aber dann nicht die natürlichen Zahlen, die wir kennen, aber auf dem gleichen System basieren) (Satz von Deadekind), jedoch verhalten sich diese anders (z.B Rechenvorschriften).
Das müsstest du im Einzelfall nachweisen ob sie die selben Eigenschaften haben. Wenn du die Nachfolger über n' = n! definierst dann musst du eben erst herausfinden und Beweisen wie die Addition usw auf dieser Zahlenmenge definierbar ist. Und auf dieser Menge gelten nun auch die Peano Axiome nicht mehr. Also ein Induktionsbeweis kann hier nicht geführt werden, du kannst dir lediglich aus den Peano Axiomen und der Bildungsvorschrift deiner Menge neue Regeln und Beweise ableiten.
Ich würde ja dann meine Zahlenmenge nach den Axiomen definieren. Es verändert sich ja theoretisch gesehen nur die Bezeichnung für 2 3 4 5 6 .
Das mit den N0 beziehungsweise der Menge klickt bei mir nicht ganz:
Beispiel Gausche Formel (angenommen die Formel geht erst ab n 4):
Also erstmal, es macht für mich generell sehr viel Sinn was du sagst, ich probiere das nur zu vertiefenm beziehungsweise hier meine Denklücke zu schließen:
Sagen wir Mal ich würde nun 4 einsetzen und zeige ab hier nur, dass es für 4 funktioniert. Das macht für mich auch hier noch Sinn. Aber wie schaffe ich nun ausdzudrücken, dass ich im weiteren Verlauf mich ausdrücklich auf die Zahlen nach 4 beziehe?
Weil ich sage ja jetzt im nächsten Verlauf,
wenn es für alle n.Z gelte, dann auch für ihre Nachfolger.
Wenn ich das rausrechne, dann kommt ja auch raus, dass es stimmt.
Wenn ich aber nun den obrigen Satz verändere und schreibe, wenn es für alle n ab 4 gilt, dann auch für ihre Nachfolger, dann würde ich die gleiche Rechnung begehen und zeigen, dass das auch stimmt.
Aber natürlich stimmt das erste nicht (Voraussetzung es geht ab n4). Und natürlich, aus mathematischer Sicht, begehen wir in beiden Fällen die Gleichung Rechnung, verändern aber die Voraussetzung (alle n oder ab 4) -> natürlich kann das keinen Sinn machen. Aber genau das verwirrt mich, beziehungsweise macht es für mich schwer, das hinzunehmen: Bei anderer Definition wird die gleiche Rechnung durchgeführt. Inwiefern, wenn ich zeige, dass es ab n xy gilt zeige ich, dass ich nun MEINE oder das es aus mathematischer (nicht aus der sicht, wie man es formuliert (weil das muss ja anscheinend falsch sein)) Sicht nur Sinn macht, dass ich die Gültigkeit der Gleichung ab einem bestimmten N0 Wert beweisen will.
Add:
Ich habe nochmal recherchiert,
die Annahme ist nämlich n größer als einen bestimmten Startwert (nicht n beliebig)
Ich finde den Gedanken trotzdem interessant:
Wenn ich n für alle natürliche Zahlen definiere und dann sage, wenn für alle n, dann für alle n und deren nachfolger
Aber sehe, es gilt nur für n ab 2, dann war ja bereits die erste Annahme falsch.
trotzdem würde es rein rechnerisch trotzdem aufgehen, also wenn ich n+1 einsetze, kommt eine wahre Aussage. Dieses n muss sich ja dann auf die Werte ab n (2) und aufwärts größer beziehen. Das heißt ja (das ist irgendwie so schwer jetzt hier zu formulieren) ich kriege eine falsche Aussage als wahr raus (es gilt ja offensichtlich nicht für alle n). Wie kann ich mir dann sicher sein, dass wenn ich n größer als 2 einsetze (als Bedingung), dass tatsächlich eine allgemeingültige Lösung repräsentiert.
Die Axiome aber selber, reden nicht von 1 2 3 4.
Doch tun sie.
Deswegen können auch Reihenfolgen wie pi 2 8 90 natürliche Zahlen sein
Nein sind es nicht. Es ist eine von dir Definierte Zahlenmenge die maximal ähnliche Eigenschaften haben kann wie die natürlichen Zahlen aber es sind nicht die natürlichen Zahlen. Aus diesem Grund sind hier die Peano Axiome nicht mehr anwendbar.
Ich würde ja dann meine Zahlenmenge nach den Axiomen definieren.
Das geht nicht.Die Axiome sind eindeutig und liefern nur 0,1,2,3,4....
Aber wie schaffe ich nun ausdzudrücken, dass ich im weiteren Verlauf mich ausdrücklich auf die Zahlen nach 4 beziehe?
Das geht aus den Peano Axiomen hervor. Die Definieren nur einen Nachfolger und der Nachfolger von 4 kann nicht 3 sein sondern nur 5.
wenn es für alle n.Z gelte, dann auch für ihre Nachfolger.
Das zeigst du nicht du zeigst dass es eine natürliche Zahl gibt ab welcher die Bedingung für alle Nachfolger gilt. Erst mit dem expliziten Prüfen für 0 zeigst du dass es für alle natürlichen Zahlen gilt.
Wenn ich aber nun den obrigen Satz verändere und schreibe, wenn es für alle n ab 4 gilt, dann auch für ihre Nachfolger, dann würde ich die gleiche Rechnung begehen und zeigen, dass das auch stimmt.
DIe Rechnung für die nachfolger bleibt ident nur einmal prüfst du Explizit für die 4 und einmal explizit für die 0 da liegt auch der Unterschied.
Also nein du machst in beiden Fällen eine andere Rechnung. Daher auch kein Widerspruch.
die Annahme ist nämlich n größer als einen bestimmten Startwert (nicht n beliebig)
Für die Gesamte Beweiskette ja. Der Beweis besteht aber aus zwei Teilen den Prüfen für einen Startwert und den Prüfen für die Nachfolger.
die Prüfung für die Nachfolger sagt es gibt ein n für welche die Bedingung für alle Nachfolger gilt.
Mit der Prüfung für den Startwert wird dann der gesamte Beweis draus.
Wenn ich n für alle natürliche Zahlen definiere
Das weißt du ja nicht. Du definierst n als Element einer Untermenge der natürlichen Zahlen. Mit dem Beweis zeigst du nun dass diese Untermenge gleich den natürlichen Zahlen ist.
Definieren kannst du das nicht, das musst du beweisen, ansonsten würde ich n=n+1 behaupten und definieren das gilt für alle natürlichen Zahlen was natürlich Unsinning wäre.
Aber sehe, es gilt nur für n ab 2, dann war ja bereits die erste Annahme falsch.
Eben da ist dein Denkfehler. Die Annahme ist nicht falsch denn n ist Element der Menge {n' e N | n' >=2}. Diese Menge enthält eben nicht alle natürlichen Zahlen.
trotzdem würde es rein rechnerisch trotzdem aufgehen, also wenn ich n+1 einsetze,
Das stimmt ja auch für die obrige Definiton der Menge die du implizit ja festlegst.
Du führst deinen Beweis immer auf der Menge {n e N | n >=x} wobei x der Startwert ist.
Für den Startwert x=0 folgt dann daraus {n e N | n>=0} diese Menge entspricht logischerweise der Menge N was die Aussage des 5ten Axioms ist.
Wow, vielen Dank. Das war sehr erleuchtend.
Betrachten wir das Mal bisschen anders:
generell wenn ich Sage, wenn es für alle N (ab =0) gelten würde,
dann würde es auch für N+1 gelten,
ist ein vernünftiger Gedanke -> es macht ja Sinn. Wenn es für alle N gilt, dann auch für N+1.
Dasselbe mit ab N=4 macht Sinn.
Aber ich denke, dass man natürlich unterscheiden muss, ob dieser Gedanke Sinn für die spezifische Aufgabe macht. Ich meine, bspw die Gaußsche formel geht tatsächlich nur ab n=7 und weitere und man muss das beweisen.
Dann sind diese zwei Bedingungen (ab n=0) zwar logisch,also die Implikation. Aber die Voraussetzung ist ja schon falsch für dieses Beispiel. Wenn die Formel aber ab n=0 gelten würde, so wäre das ja richtig. Und genau das ist, was es mir so schwer macht, das so vereinfacht anzunehmen. Weil theoretisch kannst du ja (korrigier mich gerne) jede Implikation aufstellen, wenn ab N0=3, dann....
Ob diese aber dann für das Beispiel Sinn macht, das ist dann eine andere Frage. Aber man sagt ja, dass das falsch ist, weil die Annahme (ab N0) bereits falsch ist.
Aus der "Falschheit" von A folgt die Falschheit von B
Wenn ich diesen Beweis aber trotzdem so falsch ausführe, könnte ich diesen direkt widerlegen. Aber bedeutet das nicht gleichezeitig, dass quasi jede Implikation (vom logischen her) richtig ist, nur halt nicht immer passt. Jede Implikation wird richtig rauskommen. Das heißt ja, man muss es irgendwie perfekt anpassen.
Ps: hast du Mathe studiert?
PS2: Gibt es sowas wie die Grenzen der vollständigen Induktion, wann diese quasi nicht mehr gebraucht werden kann, ihre Nachteile...etc
Ich verstehe gerade nicht ganz was du damit sagen möchtest. Wenn eine Formel für n>7 gilt dann gilt sie ja nicht für alle Natürlichen Zahlen daher wird der Beweis nicht aufgehen.
Der Beweis wird aber auf der Menge {n e N | n > 7} aufgehen. Das kannst du mit der Induktion nachweisen in leicht modifizierter Form.
Weil theoretisch kannst du ja (korrigier mich gerne) jede Implikation aufstellen, wenn ab N0=3, dann....
Richtig aus einer falschen Aussage kannst du alles folgern, nur wird dir der Beweis für alle Natürlichen Zahlen nicht aufgehen.
Zudem was meinst du hier konkret mit N0 für gewöhnlich ist das eine Menge und keine Zahl. Wenn du damit deinen Startwert bezeichnest dann muss dir klar sein dass dein Beweis nun nicht auf der Menge N gilt sondern auf einer Untermenge von N und daher geht er ja auch auf.
Dir muss also immer klar sein für welche Menge du deinen Beweis fürst. Daher macht eine Aussage immer nur dann Sinn wenn du eine Menge angibst für welche diese Aussage gilt.
Bei Gleichungen nennt man diese Menge Lösungsmenge. Funktionen gehen immer von einer Defintionsmenge in eine Bildmenge usw. Und es muss daher immer angegeben werden was nun die Lösungemenge, Definitionsmenge und Bildmenge ist anders machts keinen Sinn wie du hier merkst.
Wenn ich diesen Beweis aber trotzdem so falsch ausführe, könnte ich diesen direkt widerlegen.
Du musst ihn nicht wiederlegen weil er nicht aufgehen wird. Du kannst eine falsche Aussage nicht beweisen. Du wirst zB n=n+1 weder auf N noch auf einer Teilmenge von N beweisen.
Ps: hast du Mathe studiert?
Nein eine Ingenieurwissenschaft aber ich habe studiert ja.
Gibt es sowas wie die Grenzen der vollständigen Induktion, wann diese quasi nicht mehr gebraucht werden kann, ihre Nachteile...etc
Klar sie funktioniert nur für Beweise in N oder in Teilmengen von N in abgewandelter Form. Du kannst damit aber keine Aussagen für andere Zahlembereiche Treffen, also du kannst die Vollständige Induktion nicht verwenden um eine Aussage für alle Zahlen in R zu beweisen.
Hallo,
Also nochmal ganz kurz zu meinem Gedanken:
Ja habe N0 immer als Startwert gemeint. Ich habe halt einfach gemeint, dass ganz unabhängig von der Aufgabe, jede Implikation stimmt.
Also ich könnte sagen, wenn für n ab n=0 stimmt, dann auch für alle n +1 (Unahängig davon, ob die Aussage dann wirklich frür die bspw gaußscher formel ab n0 gilt)
Also der Gedanke macht ja immer Sinn, unabhängig von der Aufgabe
Genauso macht jeder andere Gedanke Sinn (bei dem man N0=bspw 3 wählt).
Jede Implikation ist ja erstmal logisch. Wenn ich bspw bei der gausßsche formel (die sagen wir mal ab n 2 gilt) die Implikation mit n=0 mache, dann stimmt ja die Implikation, wenn die Gleichung tatsächlich ab n=0 starten würde.
Und genau das hat mich verwirrt, das heißt ja, dass jede Implikation als „richtig“ rauskommt (weil die Implikation vom Gedanken immer Sinn macht, obwohl Sie vielleicht eine falsche Aussage für die spezifische Aufgabe macht. Und deswegen bin ich halt so „verwirrt“, wieso die logische Induktion in diesem Sinne so „spezifisch“ angewendet kann und zu 100 Prozent richtig ist.
Zur Anwendung der VInD:
Inwiefern geht die vollständige Induktion nicht für andere Zahlenmengen.
Sagen wir Mal, eine Gleichung gehe erst ab -0,3
Könnte ich dann nicht einfach sagen:
Wenn die gleichung für z größer gleich -0,3 gelten würde, so müsste diese für alle z und addiert mit 2 gehen.
Also es ist ja egal, ob es einen Nachfolger gibt, der Sinn bleibt hier derselbe, oder verstehe ich das falsch?
PS: Ich habe eben gelesen, dass bei der v.I. die Richtigkeit von A auf B hergeleitet wird. Ich verstehe aber nicht:
Ich sage ja: gilt es für die Anzahl n
dann für n+1.
Dann setze ich n+1 ein und zeige, dass die Aussage B gilt, wodurch die Aussage A auch Sinn machen muss, oder verstehe ich das falscH?
Unahängig davon, ob die Aussage dann wirklich frür die bspw gaußscher formel ab n0 gilt
Nein wenn der Beweis aufgeht ist er korrekt und die Aussage stimmt.
Ein Beweis welcher auch bei falschen Aussagen stimmt ist kein Beweis.
Wenn ich bspw bei der gausßsche formel (die sagen wir mal ab n 2 gilt) die Implikation mit n=0 mache, dann stimmt ja die Implikation, wenn die Gleichung tatsächlich ab n=0 starten würde.
Nein. Erstmal geht das nicht wenn du die Definitionsmenge vorher bereits einschränkst.
Zweitens würde eine Formel welche erst ab n>2 gültig ist für n=0 ein falsches Ergebnis liefern womit der Beweis nicht aufgeht.
wieso die logische Induktion in diesem Sinne so „spezifisch“ angewendet kann und zu 100 Prozent richtig ist.
Das gilt wie gesagt für jeden Beweis. Ein Beweis muss so gestaltet sein, dass eine Wahre Aussage zu 100% richtig ist, ansonten hast du einen Fehler in deiner Beweisführung.
Inwiefern geht die vollständige Induktion nicht für andere Zahlenmengen.
Weil die Vollständige Induktion nur für N definiert ist sonst nicht.
Aber du kannst dir daraus schon Beweisverfahren für andere Zahlenmengen herleiten.
Wenn die gleichung für z größer gleich -0,3 gelten würde, so müsste diese für alle z und addiert mit 2 gehen.
Die Angabe macht keinen Sinn da -0.3 nicht in Z enthalten ist.
du kannst natürlich eine Behauptung auf Z aufstellen die ab z>-3 gültig ist. Du kannst das Problem nun Transformieren indem du 3 addierst dann steht da z>0 und du bist in den Natürlichen Zahlen. Dann machst du den Induktionsbeweis und leitest daraus die Aussage für Z ab.
Das geht aber nur wenn du deine Aussage nach N transformieren kannst.
Hey,
ich denke, ich habe es jetzt auch verstanden. Was zu den Z:
Ich habe gelesen, dass jeder abzählbare Menge mit der v.I anwendbar ist. Rationale Zahlen sind genauso mächtig wie natprliche Zahlen = gleich viele Elemente. Nur wollte ich fragen, inwiefern hier der Beweis weitergeht. Wie meinst du nach N transfomieren? Wäre das nicht einfach derselbe Ansatz? Ich meine, es ist doch egal ob meine null jetzt -2 oder 3 ist? Oder ob ich einen Nachfolger oder eine beliebige Zahl addiere?
Ich habe gelesen, dass jeder abzählbare Menge mit der v.I anwendbar ist.
Also einen Beweis im Sinne der Vollständigen Induktion hätte ich für die rationalen Zahlen noch nicht gsehen. Auch die Definition es Nachfolgers stelle ich mir schwer vor da zwischen zwei Zahlen immer unendlich viele Zahlen liegen auch wenn beide Mengen abzählbar sind.
Wie meinst du nach N transfomieren? Wäre das nicht einfach derselbe Ansatz?
Du darfst nicht einfach Vermutungen treffen. Dass die Vollständige Induktion auf den ganzen Zahlen ähnlich gemacht werden kann wie in den natürlichen Zahlen ist naheliegend aber einen reine Vermutung deinerseits. Du müsstest erst Beweisen dass dieses Verfahren auf Z anwendbar ist, es ist aber bewiesen dass es auf N anwendbar ist.
Wenn du deine Vermutung auf N abbildest und dort beweist dann weißt du dass dieser Beweis auf N gültig ist und du kannst daraus die Gültigkeit für eine andere Menge ableiten, ohne dass du zuerst deine Beweismethode beweisen musst.
Dass die Vollständige Induktion wohl nicht auf ganz Z gelten kann ist klar, denn Z hat kein kleinstes Element. Daher muss hier eine andere Variante verwendet werden.
Okay das verstehe ich. Zwei Fragen dazu:
Reicht es schon, die zwei Mengen zueinander abbilden zu können? Weil es gibt ja diesen Diagonalitäsbeweis, dadurch sind die Zahlenmengen zwar gleichmächtig, aber das Additionssystem und alles funktioniert ja dann so nicht. Der Nachfolger könnte ja nicht mit +1 angewendet werden.
2: Was wenn ich mich nicht auf eine ganze Zahlenmenge beziehe:
Sagen wir Mal eine Gleichung gilt erst ab n=-4 und alle rationalen Zahlen aufwärts, könnte ich nicht genauso -4 als Startwert definieren und als Nachfolfer jede beliebige rationale Zahl addiert nehmen? Das wäre ja genau dasselbe.
PS: Also der Sinn der v.I ist es ja, eine Menge X zu definieren. Wenn man beweist, dass es dort einen Startwert gibt und man zwei logische Implikationen erhält, wieso kann das dann nicht auf alle "Zahlenbereiche/intervalle" angewendet werden, die diese drei Merkmale erfüllen?
Reicht es schon, die zwei Mengen zueinander abbilden zu können?
Nein nur wenn sie selben Eingenschaften haben damit die Bildungsvorschrift noch unverändert gilt.
Der Diagonalitätsbeweis macht darüber keine Aussage da du in den Rationalen Zahlen keinen Nachfolger mehr definieren kannst auch wenn sie abzählbar sind.
Was wenn ich mich nicht auf eine ganze Zahlenmenge beziehe:
Das tust du immer. Eine Menge kann eine einzige Zahl beinhalten oder auch gar keine Zahl oder es kann eine Untermenge sein.
Sagen wir Mal eine Gleichung gilt erst ab n=-4 und alle rationalen Zahlen aufwärts
In den Rationalen Zahlen kannst du keinen Nachfolger mehr bestimmen daher geht es nicht.
es geht aber auf bestimmten Untermengen die du auf die natürlichen Zahlen abbilden kannst. Also wenn du eine Funktion f(n) N->Q finden kannst dann kannst du auch die Umkehrfunktion bilden f'(x) Q->N finden und dein Problem auf N transformieren und da Beweisen.
Vergiss einfach komplett dass diese Beweismethode außerhalb von N existiert, denn du beginnst hier wieder reine Mutmaßungen aufzustellen.
Transformiere dein Problem nach N dann Beweise es. Kannst du es nicht transformieren kannst du es so auch nicht beweisen.
wieso kann das dann nicht auf alle "Zahlenbereiche/intervalle" angewendet werden, die diese drei Merkmale erfüllen?
Es gibt 5 Peano Axiome nicht 3. Mutmaße nicht sondern akzeptiere dass die Vollständige Induktion nur auf N oder Teilmengen davon geht.
Es steht dir frei diese auch auf andere Zahlenbeweise zu erweitern, aber dann Beweise dass sie da aich funktioniert und behaupte es nicht einfach
Hey,
ich habe gerade meine ganzen Denkfehler auch verstanden.... Habe die Implikation missverstanden....
Jetzt habe ich es aber verstanden. Ich habe echt viele dumme Fragen gestellt, aber all das war es mir wert, da ich es jetzt verstanden habe. Ich danke dir wirklich vom ganzen Herzen. Kennst du dich mit der transitiven I.D aus?
PS: Hey,
Ich habe mir nochmal alle chats durchgelesen weil ich es ja vorher falsch verstanden habe und wollte deswegen nochmal was zum 5 axiom bzw induktionsaxiom sagen: wenn ich die Induktion durchführe Beweise ich es für eine Mebge x, ich Beweise, dass es für n0 gilt und für seinen Nachfolger, da der Nachfolger wieder zum Element n gehört ist folglich sein Nachfolger wieder ein Teil der Menge X und immer so weiter. Aber muss man dafür das 5 axiom verstehen? Weil ansich macht das auch einfach so Sinn, wieso ist das jetzt für die Induktion so wichtig? Also ja es definiert ja auch n0 und so weiter, aber ansich ist das doch für den Sinn nicht wirklich entscheidend oder?
wenn ich die Induktion durchführe Beweise ich es für eine Mebge x, ich Beweise, dass es für n0 gilt und für seinen Nachfolger, da der Nachfolger wieder zum Element n gehört ist folglich sein Nachfolger wieder ein Teil der Menge X und immer so weiter.
Das ist ja genau das was das 5te Axiom aussagt.
Enthält X n0 sowie alle Nachfolger so ist N eine Teilmenge von X. Also genau das was du hier gschrieben hast.
Hey,
ich wollte dich was zum Wortbegriff Induktion und Deduktion fragen, beziehungsweise was auf die v.I. tatsächlich zutrifft.
Also theoretisch ist es ja so, dass ich einen Startwert einsetze (eine natürliche Zahl) und damit zeige,dass die gleichung für zumindest eine natürliche Zahl gilt.
Das heißt dass ich hierbei mich der Vermutung annähere, dass es tatsächlich nur für n.Z. gilt (wobei noch nichts bewiesen ist)
Dann stelle ich die Vemutung auf, dass die Gleichung für mind 1 n wert gilt und zeige, dass es für seinen nachfolger gfilt, sodass es für alle gilt.
Inwiefern handelt es sich hier um eine Induktion? ich beweise eine aussage, verallgemeinere die und beweise, dass es für n+1 gilt. Darauf folgere ich, dass es für alle N gilt.
Vom Allgemeinen aufs Besondere
welcher Teil beschreibt hier eine Induktion, nur der erste, oder?
PS: Könntest du mir vielleicht eine Privatnachricht schreiben, ich würde dich sehr gerne was zur transtiven Induktion fragen
Dann stelle ich die Vemutung auf, dass die Gleichung für mind 1 n wert gilt
Nein das hast du bereits bewiesen indem du den Startwert einsetzt.
Das was dann passiert ist, dass du zeigst ist dass die Aussage auch für n+1 für jedes beliebige n gilt.
Inwiefern handelt es sich hier um eine Induktion?
Steht auf Wikipedia warum sie so genannt wird:
Die Bezeichnung Induktion leitet sich ab von lat. inductio, wörtlich „Hineinführung“. Der Zusatz vollständig signalisiert, dass es sich hier im Gegensatz zur philosophischen Induktion, die aus Spezialfällen ein allgemeines Gesetz erschließt und kein exaktes Schlussverfahren ist, um ein anerkanntes deduktives Beweisverfahren handelt.
Danke, habs verstanden.
Ich wollte dich folgendes fragen.
Ist es richtig, dass die v.I. auf die positiven rationalen Zahlen nur theoretisch anwendbar ist?
Die v.I. nach dem 5ten Axiom ist nur auf Natürliche Zahlen anwendbar, damit erübrigt sich diese Frage.
Hallo,
die fünf Peano-Axiome (nicht Penano) beziehen sich nur auf die natürlichen Zahlen.
Zählt man die Null dazu, lauten sie sinngemäß so:
0 ist eine natürliche Zahl.
Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine natürliche Zahl n', die Nachfolger von n.
Zwei unterschiedliche natürliche Zahlen haben unterschiedliche Nachfolger.
0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl. (Es gibt also eine kleinste natürliche Zahl, ihre Menge ist nach unten begrenzt).
Enthält eine Menge natürlicher Zahlen die 0 und mit jeder natürlichen Zahl ihren Nachfolger, so enthält sie alle natürlichen Zahlen.
Der Nachfolger einer rationalen Zahl wäre nicht diese Zahl plus 1, sondern die nächsthöhere rationale Zahl. Da es im Unterschied zu den reellen Zahlen zwischen benachbarten rationalen Zahlen tatsächlich Lücken gibt, könnte man die Peano-Axiome möglicherweise auch auf diese übertragen. Das Problem ist nur: Sobald Du einen Nachfolger irgendeiner rationalen Zahl benennst, benenne ich Dir einen, der noch dazwischen paßt. Das gibt es bei den natürlichen Zahlen nicht. Zwischen die 2 und ihren Nachfolger 3 paßt keine natürliche Zahl mehr.
Was das fünfte Axiom anbelangt, hast Du eine Bauvorschrift, die ab einer bestimmten natürlichen Zahl alle höheren natürlichen Zahlen erzeugt. Diese natürliche Zahl, der Nachfolger und die Nachfolger sämtlicher Zahlen, die so entstehen, sind alle natürlichen Zahlen ab der Anfangszahl.
Da es eine kleinste natürliche Zahl, nämlich die 0 gibt, wird jede Menge natürlicher Zahlen, die diese Bauvorschrift enthält - natürliche Zahl, ihre Nachfolger und die Nachfolger aller so entstehenden natürlichen Zahlen - die die 0 enthält, sämtliche natürlichen Zahlen beinhalten, denn die 0 hat einen Nachfolger, der seinerseits einen, der sich vom Nachfolger der 0 unterscheidet, der einen, der sich von den vorherigen Nachfolgern unterscheidet usw.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe immer gedacht, dass es einfach bedeutet, dass wenn 0 und die Nachfolger von n in einer Zahlenmenge enthalten ist, dass die Zahlenmenge aus natürlichen Zahlen besteht.
Genauer: Jede Zahlenmenge X, die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, ist eine Obermenge der natürlichen Zahlen.
Aber könnte man nicht die hälfte der rationalen Zahlen nehmen: Die haben auch die 0 und Nachfolger (wenn man beispielsweise Nachfolger als +1 definiert)
Was die Hälfte der rationalen Zahlen sein soll, ist nicht klar. Wahrscheinlich meinst du die nicht negativen rationalen Zahlen. Für die ist sowohl die Voraussetzung, dass 0 und für jede natürliche Zahl n deren Nachfolger n' enthält, als auch die Folgerung, dass sie die natürlichen Zahlen als Teilmenge enthält, erfüllt. Die Implikation ist also insgesamt erfüllt. Das Axiom sagt, dass die Implikation für jede Zahlenmenge X erfüllt sein muss.
Wenn man in dem Axiom aber die Menge der natürlichen Zahlen durch eine andere Menge ersetzen würde, wäre die Implikation nicht mehr für alle X erfüllt. Wenn wir die Menge der nicht negativen rationalen Zahlen statt der natürlichen Zahlen nehmen, würde das Axiom lauten: Jede Menge X, die 0 und zu jeder nicht negativen rationale Zahl n auch deren Nachfolger n' enthält, ist eine Obermenge der nicht negativen rationalen Zahlen. Das wäre beispielsweise nicht erfüllt, wenn man für X die ganzen Zahlen nehmen würde. Die ganzen Zahlen enthalten 0 und zu jedem n auch den Nachfolger n', aber die ganzen Zahlen sind keine Obermenge der nicht negativen rationalen Zahlen.
Insgesamt bedeutet das Axiom also, dass die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste induktive Menge (d.h. 0 ist drin und zu jedem n ist auch n' drin) ist. Jede Menge X, die diese Bedingung erfüllt, ist eine Obermenge der natürlichen Zahlen. Die nicht negativen rationalen Zahlen sind auch so eine Obermenge.
Nochmal zusammengefasst: Rationale Zahlen sind ja auch Zahlen wie 1,1 0,23 ...
natürliche Zahlen haben einen festen Nachfolger, rationale nicht.
Das 5 Axiom bedeutet, dass wenn eine Zahlenmenge die natürlichen Zahlen und deren Nachfolger hat, dass diese eine Obermenge der natürlichen Zahlen sind.
Obermenge kann auch Gleichheit bedeuten.
Wir selber haben also anhand peanos definition selbständig definiert, dass wir natürliche Zahlen beispielsweise 2 3 4 5 nennen (ohne kommas) um so einen Nachfolger festzulegen. Wie bezieht man aber nun rationale Zahlen auf die obrige Zahlenmenge: Die rationalen Zahlen sind so definiert, dass die Zahlen einen unendlich großen Abstand haben. also gibt es bei denen keinen direkten Nachfolger. Wenn man also wie bei den natürlichen Zahlen 2 3 4 5 als Nachfolger definiert, würde man 1,1 ... ignorieren?
Das 5 Axiom bedeutet, dass wenn eine Zahlenmenge die natürlichen Zahlen und deren Nachfolger hat, dass diese eine Obermenge der natürlichen Zahlen sind.
Das ergibt wenig Sinn. Wenn eine Zahlenmenge die natürlichen Zahlen hat, ist es bereits eine Obermenge.
Die rationalen Zahlen kann man auch abzählen mit dem Diagonalverfahren und zwei rationale Zahlen haben keinen unendlichen Abstand.
Man definiert die verschiedene Mengen, Verknüpfungen und Begriffe schrittweise aufeinander aufbauend.
Die Elemente einer solchen Menge, die die Peano-Axiome erfüllt, zählt man mit 0, 1, 2, 3, ... wie auch immer man die sonst darstellten könnte. Aus den Axiomen kann man sich dann Addition und Multiplikation herleiten. Um beliebige Zahlen subtrahieren zu können, erweitert man auf die ganzen Zahlen. Um außer durch 0 teilen zu können, erweitert man auf die rationalen Zahlen, die man als Zahlenpaare darstellen kann. Dabei sieht man (a,b) und (c,d) als äquivalent an, wenn ad = bc und schreibt a/b = c/d. Man rechnet also mit Äquivalenzklassen. Und statt (a, 1) kann man auch nur a schreiben. Auf die Weise sind die rationalen Zahlen definiert mit den natürlichen Zahlen als Teilmenge.
Das alles wie auch die Ordnungsrelation, welche rationale Zahl größer sein soll, ist zunächst nicht definiert. Und die Dezimaldarstellung ist auch erst eine fortgeschrittene Definition.
Hey,
Erstmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich denke, ich habe verstanden, dass jede beliebige Zahl eine natürliche Zahl ist. Alles sind natürliche Zahlen, solange die fünf Axiome eingehalten werden. Was mir hierbei schwerfällt: Wenn man die fünf Axiome so annimmt und im Hinterkopf behält, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, so frage ich mich:
Haben wir dann einfach selber per Definition festgelegt, dass nach 1 2 kommt? Haben wir uns quasi diese Reihenfolge, die Bezeichnung der „Ns“ selber festgelegt?
Und wie definiert man jetzt ganze Zahlen? Keinen Startwert? Auch da haben wir die Bezeichnung so festgelegt, oder?
Zu den rationalen Zahlen: Erstmal, wieso ist der Abstand zwischen zwei Zahlen nicht unendlich, man kann ja 1/10000 (00..) als Beispiel nehmen, dass wird niemals aufhören? Bei den rationalen Zahlen nehmen wir auch Zahlen wie 1,1 rein. Für die natürlichen Zahlen, beziehungsweise für unsere Bezeichnungen der Ns, ignorieren wir die einfach? Oder wie ist das zu verstehen. Weil wir haben ja gesagt, es fängt bei 1 an und geht mit zunehmenden Wert weiter 2 3 4.(wir haben ja ein festes System) und jetzt kommt, 1,1 hinzu.
Das fünfte Axiom ist genau wegen den Fragen immer noch schwer zu verstehen: Woher weiß ich, aber N einer Teilermenge von X ist, wenn ich nicht definiere, was X Ist und wenn ich definiere, dass X die rationalen Zahlen sind, dann müsste ich ja erst definieren, wie die Nachfolger festgelegt sind, um zu behaupten, das X einer Obermenge von N ist.
Wie ich aber verstehe, sind die rationalen Zahlen, beziehungsweise die Zahlen, die wir so kennen, auch nur eine Definition. Also auch wir haben festgelegt, dass 1 +0,1 1,1 ist. Und wie du selber gesagt hast, ist es ja egal, ob ich 0,2 3 4 oder 3,4 schreibe. Aber die Anzahl aller Zahlen (ob es beispielsweise Kommastellen gibt) ist doch entscheident, um überhaupt Nachfolger festzulegen, um diese Menge auf das fünfte Axiome anzuwenden. Für mich bedeutet das 5 Axiom gerade folgendes: Beispielsweise ich definiere die Nachfolger 2 3 4 5, habe aber daziwschen noch Zahlen wie 3,2 und die 0 als Startwert. Wenn ich diese Menge jetzzt auf das 5 Axiom anwende, dann habe ich ja definierte Nachfolger, aber nur, wenn ich andere Zahllen „ignoriere“ Ist das der Sinn des 5 Axioms?
Ich verstehe das Prinzip der vollständigen Induktion sehr gut und kann das auch auf Beispiele anwenden, nur verstehe ich immer noch nicht, warum nur natürliche Zahlen, bzw was es mit dem fünften Axiom zu tun hat. Das ist ja das „Induktionsaxiom“. Ja, nur natürliche Zahlen haben einen Nachfolger, aber die ganzen Zahlen haben auch eine 0 und man könnte jeder Zahl auch eine Zahl zuordnen (wären dann hier die ganzen Zahlen natürliche Zahlen?Bijektive Darstellung?)
Die Menge der reellen Zahlen ist z.B. überabzählbar, d.h. man kann sie nicht vollständig durchnummerieren. Da kann man also nicht per vollständiger Induktion alle Zahlen bekommen. Und normal versteht man unter den natürlichen Zahlen schon nur (0), 1, 2, 3, ... Andere Peano-System sind dazu isomorph.
Man könnte statt 0, 1, 2, 3, ... auch 0, 0', 0'', 0''', ... schreiben. Die Bezeichnungen werden so festgelegt.
Die rationalen Zahlen würde man mit dem Diagonalverfahren abzählen. Wenn man immer nur eine feste Zahl addiert, wäre das keine Abzählung, weil man nicht alle rationalen Zahlen auf die Weise bekommen würde. Addition wird zudem erst rekursiv mit den Nachfolgern definiert:
- m + 0 := m
- m + n' :=: (m + n)'
Bei der Definition der rationalen Zahlen als Erweiterung der ganzen Zahlen muss man auch keine Nachfolger festlegen.
Genau hingeschrieben sieht das fünfte Axiom so aus: (aus https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome kopiert)
∀ 𝑋 ( 0 ∈ 𝑋 ∧ ∀ 𝑛 ( 𝑛 ∈ 𝑁 ⇒ ( 𝑛 ∈ 𝑋 ⇒ 𝑛 ′ ∈ 𝑋 ) ) ⇒ 𝑁 ⊆ 𝑋 )
Man beachte den Teil 𝑛 ∈ 𝑁. Nicht jede Zahl aus X muss einen Nachfolger haben, sondern nur solche, die auch in den natürlichen Zahlen enthalten sind.
Nach dem dritten Peano-Axion hat keine Zahl 0 als Nachfolger. Wenn man die natürlichen Zahlen mit den negativen ganzen Zahlen erweitern würde, wäre dieses Axiom mit (-1') = 0 nicht mehr erfüllt.
Eine Abzählung der ganzen Zahlen wäre, wenn man ab 1 nach jeder natürlichen Zahl die Gegenzahl einfügt, aber dann wäre nicht mehr 1' = 2 wie zuvor definiert wurde. Ergänzen kann man die natürlichen Zahlen also nicht, dass alle Peano-Axiome noch erfüllt sind, ohne die Nachfolger der bisherigen Zahlen anders zu definieren.
Wenn man die Addition durch m + 0 := m und m + n' :=: (m + n)' definiert, folgt mit 0' = 1, dass m' = m + 1. Wenn man wie üblich rechnet, ist die Nachfolgerabbildung die Addition von 1.
Vielen vielen Dank wieder für diese ausführliche Erklärung. Du schreibst, dass beispielsweise reelle Zahlen nicht abzählbar sind, ist das dann quasi auch in den Ayiomen für die reellen Zahlen festgelegt? Und wie genau haben wir dann definiert das 1 + 0,1 1,1 ist. Genau dieselbe Frage für die rationalen Zahlen, du schreibst, dass man die sonst nicht abzählen könnte, ist es also auch per Axiom festgelegt, wie die rationalen Zahlen sind und wir haben uns dafür "feste" Zahlen definiert?
Zum 5 Axiom: Also müssen nur die Nachfolger von "Natürlichen" Zahlen drinnen sein, die wir als 1 2 3 4 5 festgelegt haben. Rationalen Zahlen haben also im allgemeinen keine Nachfolger, außer mit dem Diagonalitätsbeweis. Und geht es bei der 0 hierbei um einen Startwert, ja oder? Und da rationalen,reele, und was weiß ich per Axiom keinen Startwert haben, aber die 0 enthalten, sind dies Obermenge der natürlichen Zahlen.
Jetzt verknüpft zur vollständigen Induktion: Und inwiefern beweist das, dass die vind nur für n.Z. geht? Also ja, um eine Aussage ab einem Startwert gültig zu machen, sind nur natürlichen Zahlen nützlich.
Aber jetzt Mal einfach nur von der Logik, wenn wir sowas wie die gausche Summenformel hätten, die einfach für wirklich jede Zahl geht. Dann wäre der Beweis,
Wenn es für alle geht
Dann auch für alle +1
Auch eine Beweismethode, die die gleiche Logik der vollständigen Induktion hat?
Liebe Grüße und danke für deine Hilfe, das bedeutet mir echt viel.
Es ist nicht per Axiom festgelegt, welche Mengen abzählbar sind. Dafür, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind und die reellen nicht, gibt es Beweise.
Die Addition mit rationalen Zahlen wird definiert durch a/b + c/d = (ad + bc)/(bd). Man muss nur zeigen, dass die so definierten Verknüpfungen wohl definiert sind, (d.h. hier, dass das Ergebnis sich nicht ändert / äquivalent ist, wenn man die Summanden zuvor kürzt oder erweitert) die geforderten Rechenregeln (Gruppen-/Körperaxiome) gelten und auf den ganzen Zahlen mit der bisherigen Definition übereinstimmen.
Wenn man eine Zahlenmenge als Erweiterung einer vorherigen einführt, ist die neue per Definition eine Obermenge der alten.
Mit der vollständigen Induktion kann man Aussagen auch für nicht natürliche Zahlen zeigen. Beispiel: Für alle 𝑛 ∈ {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} gilt: n > 0. Dies wäre äquivalent zu: Für alle 𝑛 ∈ {1, 2, 3, 4, ...} gilt 1/n > 0. Auf die Weise kann man auch andere Zahlenfolgen auf die natürlichen Zahlen zurückführen. Genauso macht es keinen Unterschied, ob ich eine Aussage für alle n + 1 zeige und mit n = 0 beginne, oder die Aussage für alle n zeige und mit n = 1 beginne.
Wenn man etwas für alle Zahlenpaare zeigen will, ist es statt einem Diagonalverfahren wahrscheinlich einfacher, indem man die vollständigen Induktionen verschachtelt. Wenn man eine Aussage für alle Paare (m, n) zeigen will, zeigt man erst die Aussage für (0,0) und hält eine Komponente fest und zeigt: Wenn die Aussage für (m,0) gilt, gilt sie auch für (m+1,0) uns somit für alle (m,0). Anschließend erfolgt die Induktion über n und man zeigt: Wenn die Aussage für (m,n) gilt, gilt sie auch für (m, n+1) und somit für alle (m,n). So könnte man etwas auch für alle Brüche m/n zeigen. Es kommt auf die Aufgabe an, welches Beweisverfahren am besten ist.
Für alle reelle Zahlen funktioniert das so nicht, weil die nicht abzählbar sind. Und auch mit einer verschachtelten vollständigen Induktion würde man nur eine abzählbare Menge erreichen. Aussagen für alle reelle Zahlen beweist man z.B. über Grenzwerte, wo Stetigkeit dann die entscheidende Eigenschaft ist.
Wenn es für alle geht
Dann ist man schon fertig. Da gibt es nichts mehr zu zeigen.
Ok, wow. Das war eine echt sehr gute Erklärung. Das 5 Axiom bedeutet also, dass jede Zahlenmenge X, die die 0 (aber wirklich 0 oder einfach einen Startwert?) und eine Zahl n sowie deren Nachfolger enthält, eine Obermenge der natürlichen Zahlen ist (Obermenge= mehr Zahlen als die natürlichen Zahlen, kann man das so sagen?). Da eigentlich jede Zahlenmenge diese Voraussetzung erfüllt, sind die natürlichen Zahlen die kleinste Zahlenmenge? Und das ist quasi eine Definition von Peano? Aber die natürlichen Zahlen kann ich quasi selber neu definieren:
Sagen wir Mal ich nehme 4 als Element für 0 (meinen Startwert) und definiere + pi als Nachfolger. Wären das dann natürliche Zahlen? Aber meine Definition enthält ja die 0 und Nachfolger, also muss es doch eine Obermenge der natürlichen Zahlen sein.
Das verwirrt mich gerade: wie kann man dann eine Zahlenmenge definieren, die nicht die Obermenge von natürlichen Zahlen sind?
Obermenge bedeutet, dass jedes Element, das in einer Menge enthalten ist, auch in der Obermenge enthalten ist. Obermenge kann wie Teilmenge auch Gleichheit bedeuten. Wenn die Mengen nicht gleich sein sollen, spricht man von einer echten Obermenge oder Teilmenge.
Die Implikation muss jede Zahlenmenge X erfüllen. Aber nicht jede Zahlenmenge muss 0 und zu jedem n auch den Nachfolger n' enthalten.
Man könnte den Startwert und die Nachfolger beliebig definieren. Die Struktur wäre gleich, man hat nur eine Umbenennung, was man Isomorphie nennt. Dazu gibt es den Isomorphiesatz von Dedekind, der sagt, dass solche Systeme zueinander isomorph sind. DIe natürlichen Zahlen sind in dem Fall mit 0 als Startwert und mit +1 als Nachfolgerabbildung festgelegt. Es gibt aber weitere Systeme, die auch die Peano-Axiome erfüllen, die dann aber nur eine Umbenennung sind.
Den zweiten Teil habe ich sehr gut verstanden, den ersten nicht ganz:
Jede Zahlenmenge (auch die natürlichen Zahlen) erfüllt die Implikation. Das heißt auch die natürlichen Zahlen sind eine Obermenge, hier liegt dann eine Gleichheit vor. Weil wenn man natürliche Zahlen und natürliche Zahlen nimmt, werden die ja 1zu 1 abgebildet. Trotzdem kann es sein, dass die natürlichen Zahlen eine Teilmenge einer Obermenge sind. Verstehe ich das richtig?
Was ich nicht ganz verstehe: Wie sind denn beispielsweise rationale Zahlen definiert? Wieso gibt es mehr rationale Zahlen als natürliche (ok wegen dem Startwert), aber wenn wir positive rationale Zahlen mit natürlichen Zahlen vergleichen, dann gibt es ja mehr rationale, oder? Aber diese rationalen Zahlen, können auch natürliche Zahlen sein, wenn man sie bijektiv abbilden kann?
Und die vollständige Induktion geht quasi nur für natürliche Zahlen, weil man einen Nachfolger definiert. Wenn ich also -1 nehme, was eig eine rationale Zahl ist und sage, wenn die gleichung für alle negativen rationalen Zahlen gilt, dann auch für alle rationalen Zahlen subtrahiert mit -1, -1 wäre mein Nachfolger, sodass ich hier wieder bei natürlichen Zahlen bin.
Es ist also auch falsch zu sagen, dass natürliche Zahlen keine Komma Zahlen sind? Das folgt ja nur wegen dem Nachfolgerprinzip von +1, was wir ja bestimmt haben und kein Axiom festhält.
PS: sind also positve rationale Zahlen natürliche Zahlen (alle)?
Add: Aber zusammengefasst ist es trotzdem so, dass sagen wir eine Gleichung gilt für alle reellen Zahlen.
Dann könnte ich ja trotzdem (nur vom logischen her) sagen, okay, wenn es für alle reellen Zahlen gilt,.. dann auch für alle reellen Zahlen addiert mit 1
Damit hätte ich ja (wenn es solch eine Gleichung gäbe), trotzdem bewiesen, dass es so ist und auf alle reellen Zahlen anzuwenden ist.
Und den Startwert braucht man quasi nur, um die Lösung abzugrenzen: bspw festzustellen, es gilt erst ab zwei.
Hey,
Danke für dir Antwort. Ist Untermenge=Teilmenge?
Ich verstehe eigentlich was du mir sagen willst, nur verstehe ich nicht so ganz, wieso das 5 Axiom beispielsweise die hälfze der rationalen Zahlen ausschließt. Eine 0 und Nachfolger sind ja enthalten. Und wieso ist der Induktionsstart für den allgemeinen Sinn der Induktion wichtig: man kann ja sagen, wenn es für alle natürlichen Zahlen gilt, dann auch für deren Nachfolger. Wieso der Start.
Ps: wieso darf man beispielsweise nicht sagen, wenn es für rationale Zaheln gilt, dann auch für die addiert mit einem beliebigen Wert.
Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen. Dieses 5 Axiom..