Vollständige Induktion?
Vollständige Induktion
Ich würde gerne verstehen, warum die vollständige Induktion nur für natürliche Zahlen gilt.
Ich habe es nämlich so verstanden, dass man sagt,dass wenn eine Gleichung für alle Zahlen n funktioniert, dann auch für den Nachfolger. Das ist ja quasi der Beweis. Wieso dann nur natürliche Zahlen?
Ich bedanke mich sehr für alle Gedankengänge!
4 Antworten
dann auch für den Nachfolger
stimmt
Welche Zahl kommt denn nach der Null zum Beispiel ? 0.1, 0.01 , 0.001 usw ?
Solange für nichtnatürliche ganze Zahlen der Begriff "Nachfolger" nicht klar ist , muss die vollIndu in der Schublade bleiben
.
eben doch : was für n gilt für n+1 . Der Nachfolger ist substantiell
außer dem : guck dir an , was mit vollständiger Ind bewiesen wird .
sie ist eben ausschließlich für natürliche Zahlen gemacht
Ja genau. Ich finde das auch echt super spannend. Nur verstehe ich nicht so ganz, wieso nur natürliche Zahlen. Das muss ja einen Sinn machen.
Die Idee der vollständigen Induktion ist, das wenn es für die 0 gilt und für jeden Nachfolger, dann gilt es für alle Zahlen. Das geht nur mit den Natürlichen Zahlen (könnte man auf ganze und ratinale auch erweitern), da sie wohlgeordnet sind und jede Zahl einen Definierten Nachfolger besitzt.
Die vollständige Induktion ist nicht nur auf natürliche Zahlen anwendbar, sondern auf alle fundierten Mengen.
Welche Zahlen haben denn einen (eindeutigen) Nachfolger?
natürliche Zahlen.Stimmt. Das war ein guter Einwand.
Hm ja, gute Frage. Aber wieso ist das relevant? Also ich verstehe ja, dass der Nachfolger bei natürlichen Zahl klar bestimmt ist, undzwar 1 (soweit ich es verstehe). Bei anderen Zahlenmengen ist das tatsächlich etwas schwierig. Aber ist das wichtig, ich meine: wenn man wie folgt vorgeht:
Man setzt voraus, dass wenn die Gleichung XY für alle N werte gelten sollte, dann ja auch für die N Werte addiert mit einem beliebig großen Wert.
Würde nicht der Sinn vom Beweis der gleiche bleiben? Man muss ja nicht unbedingt einen "Nachfolger" definieren, oder?
Danke für deine Antwort!