Unbestimmter Integral -Stammfunktion?

Hallo,

ich komm bei den Aufgaben j-l nicht weiter. Könnte mir einer helfen ?

Answer 1

[mihisu]

Die natürliche Exponentialfunktion ergibt abgeleitet wieder die natürliche Exponentialfunktion...

$F(x)=\text{e}^x\quad \rightarrow\quad F'(x)=\text{e}^x$

Ersetzt man da nun den Exponenten x durch ax + b, so erhält man aufgrund der Kettenregel beim Nachdifferenzieren einen Faktor a.

$F(x)=\text{e}^{a x+b}\quad \rightarrow\quad F'(x)=\text{e}^{ax+b}\cdot a=a\cdot \text{e}^{ax+b}$

Um diesen Faktor a auszugleichen, kann man mit einem Faktor 1/a multiplizieren.

$F(x)=\frac{1}{a}\cdot \text{e}^{a x+b}\quad \rightarrow\quad F'(x)=\frac{1}{a}\cdot \text{e}^{ax+b}\cdot a=\underbrace{\frac{1}{a}\cdot a}_{=1}\cdot \text{e}^{ax+b}=\text{e}^{ax+b}$

Dementsprechend ist zu einer Funktion der Form...

$f(x)=\text{e}^{ax+b}$

... durch...

$F(x)=\frac{1}{a}\cdot \text{e}^{ax+b}$

... eine entsprechende Stammfunktion gegeben. Damit solltest du j) und k) lösen können.

Für Teilaufgabe l) solltest du beachten, dass sin abgeleitet cos ergibt, und dass cos abgeleitet -sin ergibt. Dementsprechend erhält man...

$F(x)=a\cdot \cos(x)-b\cdot \sin(x)$

$\quad \rightarrow\quad F'(x)=a\cdot \sin(x)-b\cdot \left(-\cos(x)\right)$

$\quad \rightarrow\quad F'(x)=a\cdot \sin(x)+b\cdot \cos(x)$

Dementsprechend ist zu einer Funktion der Form...

$f(x)=a\cdot \sin(x)+b\cdot \cos(x)$

... durch...

$F(x)=a\cdot \cos(x)-b\cdot \sin(x)$

... eine entsprechende Stammfunktion gegeben. Damit solltest du Teilaufgabe l) lösen können.

====== Ergänzung: Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Comments

[Dilo3333]

Muss bei der a) aber nicht 1/3 rauskommen also dahinter +3 statt 2 stehen ?

[mihisu]

@Dilo3333

Welche „a)“? Ich habe doch gar nichts zur Teilaufgabe a) geschrieben.
[Bei Teilaufgabe a) würde man 1/7 x⁷ + C erhalten.]

Ich weiß nicht, welche Stelle du meinst, und wie du da auf eine 3 kommst.

[Dilo3333]

@mihisu

Ups meine J) der Exponent wird ja immer um eins größer und das man das zusammengefasst hat dachte ich jetzt kommt bei e^2x+2 = e^2x+3

[mihisu]

@Dilo3333

Nein, der Exponent wird dort nicht um 1 größer.

Es handelt sich um eine Exponentialfunktion (mit Variable im Exponenten der Potenz), nicht um eine Potenzfunktione (mit Variable in der Basis der Potenz). Da besteht ein erheblicher Unterschied.

============

Bei Potenzfunktionen hat man die Regel...

∫ x^n dx = 1/(n + 1) ⋅ x^(n + 1) + C

Da wird der Exponent um 1 erhöht. (Aus dem Exponenten n wird der Exponent n + 1.)

Bei Exponentialfunktionen hat man die Regel...

∫ e^x dx = e^x + C

bzw.

∫ e^(a x + b) dx = 1/a ⋅ e^(a x + b) + C

Da wird der Exponent nicht um 1 erhöht. (Der Exponenten bleibt x bzw. ax + b.)