Thema: Ableitung, kann mir jmd die Aufgabe erklären?
2 Antworten
Der Ansatz ist:
y = ax^2
Wir haben nur eine Unbekannt (a), also reicht auch eine Information, um diese auszurechnen.
Diese Information ist: bei x = 11 beträgt die Steigung 16%.
Nun müssen wir noch die 16% umrechnen. 16 % bedeutet, bei 1m nach rechts geht es 0,16 m hoch. Also gilt:
m = ∆y/∆x = 0,16
also haben wir:
f'(11) = 0,16
Nun müssen wir f(x) erstmal ableiten:
f'(x) = 2ax
f'(11) = 2a * 11 = 0,16
2a = 0,16/11
a = 0,16/22 = 0,0073
Also lautet die Funktion:
f(x) = 0,0073x^2
Und die sieht so aus (nicht Maßstabsgerecht):
Nun soll noch die Tiefe des Kraters berechnet werden. Die ist gleich der Höhe des Kraters von unten aus gemessen, also ist gesucht:
f(11) = 0,0073(11^2) = 0,88 m
Das stimmt auch mit dem Graphen überein.
Ergebnis:
Die Parabel hat die Gleichung f(x) = 0,0073x^2 und der Krater ist etwa 88 cm tief.
Der Querschnitt des Kraters sei y = a * x². Dabei ist der Koordinatenursprung in der Mitte des Kraters auf dem Boden des Kraters.
Die Steigung ist y' = 2 * a * x.
Der Radius des Kraters ist 11 m, an der Stelle x = 11 m ist y' = 0,16.
Daraus kann man a ausrechnen.
Um die Höhe der Marsoberfläche (vom Grunde das Kraters aus gesehen) auszurechnen, setzt man den berechneten Wert a und x = 11 m in die Gleichung für y ein.
Nein, so war das nicht gemeint.
0,16 = 2 * a * 11 (x = 11 in die Ableitung einsetzen)
a = 0,00727
und dann x = 11 und a in die quadratische Funktion einsetzen
y = a * 11² = 0,88, das ist die Tiefe des Kraters.
Ja das war's.
Die Gleichung y = a * x² war die einfachste, die mir eingefallen ist.
Man kann sich auch kompliziertere Gleichungen ausdenken, indem man den Koordinatenursprung sonstwo hinlegt. Kann man machen, muss man aber nicht ;-)
0,16= a(x+11)^2- ax^2 / 11
0,16= a( x^2+ 2*11*x+ 11^2) -ax^2/11
0,16= ax^2 + 22 a x + 11^2 a - ax^2/11
-> kürzen und durch h teilen, bzw. durch 11
0,16= 2 a x +11 a
0,16 = 11 a
0,015= a (gerundet )
so?