Symmetrie des Pascalschen Dreiecks?
Hallöle,
ich bin gerade dabei gewesen mir die Eigenschaften der Binomialkoeffizienten anzusehen, jedoch konnte ich nicht ganz verstehen was das genau Aussagt.
Ich würde mich auf eine Aufklärung freuen.
Danke schon mal für die Antworten:)
2 Antworten
Hallo,
das kannst Du auch allgemein nachweisen, wenn Du (n über k) einfach mal ausschreibst:
(n über k)=n!/[k!*(n-k)!].
Der Zähler ist also die Fakultät dessen, was in der Klammer von n über k) oben steht, hier also die Fakultät von n, während in den Nenner das Produkt der Fakultät des Ausdrucks, der unten steht, also k! und der Fakultät der Differenz der beiden Ausdrücke in der Klammer, also (n-k)! kommt.
Wenn der Binomialkoeffizient nicht (n über k), sondern (n über (n-k)) lautet, kann man ihn in gleicher Weise ausschreiben:
n!/[(n-k)!*(n-(n-k))!]=n!/[(n-k)!*k!]
Da das Kommutativgesetz der Multiplikation auch hier in Kraft ist, ist (n-k)!*k! das Gleiche wie k!*(n-k)!.
Wenn aber (n über k)=n!/[k!*(n-k)!] und (n über (n-k))=n!/[k!*(n-k)!],
dann muß (n über k) gleich (n über (n-k)) sein gemäß der Regel:
Aus a=c und b=c folgt a=b.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank für deine ausführliche Erklärung. Es hat mit sehr weitergeholfen :)
Steht doch da: n über k ist das Gleiche wie n über (n-k)
5 über 3 ist das gleiche wie 5 über (5-3), also 5 über 2
5!/(3!*(5-3)!) = 5!/((5-3)!*(5-(5-3))!)
Hab es noch eben als ich es mit Zahlen ausprobiert habe auch verstanden. Trotzdem vielen Dank für die Antwort