Fragen zum Pascal'schen Dreieck und Binomialkoeffizient?

Ich verstehe in einer Aufgabe mit 6 Fragen, 2 davon nicht ganz. 1. Was stellen Sie fest, wenn sie alle binomialkoeffizienten in einer Zeile des pascalschen Dreiecks addieren? Stellen Sie eine Vermutung auf. A: Wenn man alle Binomialkoeffizienten einer Zeile addiert, kommt dasselbe heraus, wie wenn man die Zahlen in einer Reihe addiert. Aber was ist die Vermutung?? 2. Binomialkoeffizienten können mit der Formel (n über r) = n! /(r! *(n-r)!) direkt berechnet werden. Überprüfen Sie, ob die Formel die Zahlen im pascalschen Dreieck ergibt. A: ???

2 Antworten

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Schule, Mathematik

10.09.2018, 17:49

Hallo,

Zeile 0: 1

Zeile 1: 1 1

Zeile 2: 1 2 1

Zeile 3: 1 3 3 1

Zeile 4: 1 4 6 4 1

Zeile 5: 1 5 10 10 5 1

Die Summen dieser Zeilen lauten der Reihe nach 1, 2, 4, 8, 16, 32

Fällt Dir etwas auf?

Herzliche Grüße,

Willy

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Schule

10.09.2018, 17:56

Überleg dir mal den Begriff "Binominalkoeffizient"! Da steckt das Binom drin und Koeffizient! Nun zähle mal alle in einer Zeile zusammen und du erkennst die Binomkoeffizienten der Binär- oder Dualzahl 2^0, 2^1, 2², 2³ usw! In der Kombinatorik arbeitest du bei Kombinationen auch mit den Binominalkoeffizienten und das Baumdiagramm weist auch eine Binominalverteilung auf!

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Was mich weiter bringt, sind Herleitungen oder gute Erklärungen

Danke im voraus

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"Lisa fällt auf, dass jede Zeile (gemeint ist das pascalsche Dreieck in Tebellenform) symmetrisch ist, d.h. die Zahlen werden erst immer größer, dann folgen die gleichen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge. Lisa fällt ein, dass sie dazu eine allgemeine Gesetzmäßigkeit in der Vorlesung kennengelernt hat. Welche allgemeine Formel (aus der Vorlesung) für die Binomialkoeffizienten meint Lisa damit? Begründen Sie die Gültigkeit der gesuchten Formel kurz mit Ihren eigenen Worten mithilfe (i) der Definition des Binomialkoeffizienten. (ii) des binomischen Lehrsatzes. (iii) der Interpretation von n k als Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge."

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Wieso haben bei mir die Zellen unterschiedliche Breiten, und, was ist der einfachste weg, dass es auch ausschaut wie ein Pascalsches Dreieck und nicht alles lin ksbündig ist?

Code

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <meta charset="utf-8">
    <title>Pascal'sches Dreieck</title>
    <link rel="stylesheet" href="style.css">
    <script src="script.js"></script>
    <style>
    
    .table {
    font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;
    border-style: solid 1px;
    border-spacing: 1;
    border-collapse: collapse;
    overflow: hidden;
    width: 70%;
    margin: 0 auto;
    position: relative;    
    }
    
    .zellen {
        border: 1px solid #000;
    }
    </style>
</head>
<body bgcolor=#DDDDDD text=#0000AA>

<form action="<?php $PHP_SELF ?>" method="post">
<pre>
eingabe:   <input type="text" name = "eingabe" size="4">


<input type="submit" name="schalter" value="OK">
</pre>
</form>

<?php

if(isset($_POST["schalter"])){
    
    $eingabe = $_POST["eingabe"];
    
    
    print "<table class=\"table\">";
    
    for($zeile = 1; $zeile <= $eingabe; $zeile++){ //Zeilen
        print "<tr>";
        for($spalte = 1; $spalte <= $zeile; $spalte++){ //Spalten
        
            if($spalte == 1 OR $spalte == $zeile){
                $array[$zeile][$spalte] = 1;
                print "<th class=\"zellen\">".$array[$zeile][$spalte]."</th>";
                

                
            }else{
                $array[$zeile][$spalte] = $array[$zeile-1][$spalte-1] + $array[$zeile-1][$spalte];
                
                print "<th class=\"zellen\">".$array[$zeile][$spalte]."</th>";
                
            }

            // $array[$i][$j] = 1;
        
            
        }    
    }
    print "</tr></table>";
    
    
    print "<pre>";
    print_r($array);
    print "</pre>";
}
?>
</body>

</html>

Ausgabe:

Gaußsche Summenformel Herleitung?

Ich habe versucht die Formel herzuleiten aber ich habe ein Problem. Ich habe eine Formel für die geraden Zahlen von 1-n (2,4,6,8,10,...) und eine für die ungeraden Zahlen von 1-n (1,3,5,7,9,...). Ich kann beide Formel natürlich addieren und dann kommt das Gesamtergebnis raus. Das Problem ist, dass wenn die zuletzt addierte Zahl ungerade ist, z.B. (1 - 99), ich bei der ungeraden-Formel eins dazuzählen muss und zur geraden-Formel eins dazuzählen muss. Das muss ich bei einer zuletzt addierten geraden Zahl nicht machen.

Fomel um alle geraden Zahlen zusammenzuzählen von 1 - n:

n/2(n/2 + 1)

für ungerade Zahlen lautet sie:

(n/2)^2

Ich muss bei der ungeraden-Formel eins dazuzählen und bei der geraden Formel eins abziehen, sonst würde beim dividieren eine Bruchzahl rauskommen.

Wenn die zuletzt addierte Zahl gerade ist stimmt das Ergebnis immer.

Wie kann ich die Formel mit meinen beiden oberen Formeln also herleiten?

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Danke schon mal für die Antworten:)

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