Woher kommt der Binomialkoeffizient im Binomischen Satz?

Hallo,

ich möchte gerne für die Schule wissen, wieso man durch den Binomialkoeffizienten ("n über k") die Vorfaktoren der ausgeklammerten binomischen Formeln herausbekommt. Was ich weiß ist ,dass man das Pascalsche Dreieck mit den Binomialkoeffizienten aufbauen kann und somit in der n-ten Zeile die Vorfaktoren der n-ten binomischen Formel vorzufinden sind. Aber was haben der Binomialkoeffizient und die binomischen Formeln gemeinsam, dass sowas klappt.

Was mich weiter bringt, sind Herleitungen oder gute Erklärungen

Danke im voraus

Answer 1

[Willibergi]

Total interessante Frage.

Dass

$\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom n k a^k b^{n-k}$

gilt, kann leicht induktiv gezeigt werden. Das ist aber letztlich mehr ein technischer Beweis und bietet wenig Raum für intuitives Verständnis. Das "Warum" also die viel spannendere Frage.

Stellen wir uns die Potenz als Produkt

$(a+b)^n = \displaystyle\prod_{i=1}^n (a+b) = \underbrace{(a+b) \cdot (a+b) \cdot \ldots \cdot (a+b)}_{n \text{ Mal}}$

vor. Dann können wir rechts sukzessive das Distributivgesetz anwenden, exemplarisch ein erster Schritt:

$\displaystyle{\prod_{i=1}^n (a+b) = (a+b) \prod_{i=2}^n (a+b) = a \prod_{i=2}^n (a+b) + b \prod_{i=2}^n (a+b)}$

Was tun wir dabei? Im Wesentlichen wählen wir aus jeder Klammer eins der beiden Elemente aus und multiplizieren die ausgewählten Elemente miteinander. Die erhaltenen Produkte fassen wir zunächst zusammen (da aufgrund der Kommutativität der Multiplikation ja ggf. mehrere Produkte gleich sind) und addieren sie dann. Das machen wir systematisch, bis wir alle Anordnungen durch haben. Es ergibt sich

$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \varphi_n(k) \cdot a^k \cdot b^{n-k}$

denn:

• Wir können an den verschiedenen Potenzen von a die Anzahl der Summanden ablesen: Es gibt nur Summanden, in denen a null, ein, zwei, drei, ..., oder n Mal vorkommt. Weniger als Null ergibt keinen Sinn und mehr als n auch nicht, denn die maximale Anzahl an a's ergibt sich, wenn wir nur a's auswählen und da wir aus n Klammern auswählen, kann das Produkt nicht mehr als n a's enthalten. Damit können wir jeden Summanden durch die Anzahl an a's klassifizieren.
• Zusätzlich muss jeder Summand n Faktoren haben, denn wir wählen ja aus n Klammern aus. Der Exponent von b muss also gerade der Unterschied des Exponenten von a zu n sein - der Exponent von a ist k, also ist der Exponent von b genau n - k.
• φ(k) ist genau die Anzahl, das a i-Mal aus den n Faktoren (a + b) auszuwählen (wir haben ja vorhin gesehen, dass wir jeden Summanden eindeutig durch die Anzahl an a's identifizieren können). φ(k) entspricht also der Anzahl der Summanden, die zwar verschiedene Anordnungen der a's und b's beinhalten, aber trotzdem gleich sind (weil die Anzahl an a's und b's gleich ist) - wir werden gleich sehen, dass φ(k) genau der Binomialkoeffizient n über k ist.

Wie viele Möglichkeiten gibt es nun, das a k-Mal aus den Faktoren (a + b) auszuwählen? Wir haben n Faktoren. Für den ersten Faktor, den wir "auserwählen", aus dem wir ein a wählen, haben wir n Möglichkeiten. Für den zweiten Faktor gibt es n - 1 Möglichkeiten, für den dritten n - 2 Möglichkeiten, und so weiter, bis zum k-ten (also letzten auszuwählenden) Faktor, für den es n - k+ 1 Möglichkeiten gibt. Insgesamt gibt es also

$n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$

Möglichkeiten - zumindest fast, denn: Jetzt gibt es doch aber schon wieder verschiedene Auswahlmöglichkeiten, die eigentlich gleich sind: Ist n = 10, k = 4 und wähle ich erst den dritten, dann den achten, dann den zweiten und dann den fünften (3-8-2-5), dann ist das doch dasselbe wie als würde ich erst den fünften, dann den achten, dann den dritten und dann den zweiten (5-8-3-2) auswählen und das ist wiederum dasselbe als würde ich erst den zweiten, dann den achten, dann den fünften und dann den dritten (2-8-5-3) auswählen. Die Reihenfolge soll doch aber egal sein und für eine k-elementige Auswahl (hier: 4) gibt es k! (hier: 4! = 24) Anordnungsmöglichkeiten: Für das erste Element gibt es k Möglichkeiten, für das zweite k - 1, für das dritte k - 2 bis zum letzten, für das es dann nur noch eine Möglichkeit gibt (denn alle anderen "Plätze" sind schon durch die k - 1 vorherigen Elemente belegt).

Wählen wir das a also k-Mal aus den n Faktoren (a + b) aus, so gibt es

$\dfrac{n!}{(n-k)!}$

Möglichkeiten, wobei jedoch k! aufs selbe rauskommen (denn die Reihenfolge, in der wie die a's auswählen, ist irrelevant). Insgesamt gibt es also

$\dfrac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}= \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \displaystyle\binom nk$

Möglichkeiten, das a k-Mal aus den n Faktoren auszuwählen - und da steht er, unser Binomialkoeffizient. Es folgt

$\varphi_n(k) = \displaystyle\binom nk$

und damit auch

$\displaystyle{(a+b)^n = \prod_{i=1}^n (a+b) = \sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}}$

der bekannte Binomische Satz.

Comments

[Timatik]

Danke. Jetzt hab ich alles verstanden

[Willibergi]

@Timatik

Gerne.

Answer 2

[Kurax151]

Hoffe das hilft weiter https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz
Beweisen lässt sich das durch vollst. Induktion falls dir das ein Begriff ist.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Timatik]

Ja, hab schonmal davon etwas gehört. Danke, genau sowas habe ich gesucht