Binomialkoeffizient 0 über 0?

Hab dazu iwie keine guten Antworten online gefunden, wie funktioniert das? Sollte laut Pascalschem Dreieck ja eig. nicht gehen

Answer 1

[Mathmaninoff]

Es ist sinnvoll das leere Produkt als 1 zu definieren, denn 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Der Binomialkoeffizient n über k macht für k = 0 oder k = n auch nur Sinn, wenn man 0! als 1 definiert. Mit 0! = 1 ist auch 0 über 0 definiert. Und das macht auch beim Binomischen Lehrsatz Sinn.

(x+1)⁰ = 1x⁰
(x+1)¹ = 1x¹ + 1x⁰
(x+1)² = 1x² + 2x¹ + 1x⁰
(x+1)³ = 1x³ + 3x² + 3x¹ + 1x⁰
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Die Koeffizienten entsprechen hier dem Pascalschen Dreieck. In der Spitze des Dreiecks steht 0 über 0. Hier geht es eher um die formale Darstellung, als um das Verhalten der Funktion an einzelnen Punkten; ansonsten ist in diesem Zusammenhang die Definition 0⁰ = 1 sinnvoll.

Bei der Hypergeometrischen Verteilung ist 0 über 0 = 1 auch sinnvoll. Wenn in einer Urne n Kugeln sind und alle n davon sind Gewinne und ich ziehe davon k Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit für k Gewinne: $P(X = k) = \frac{\binom{n}{k}\binom{n - n}{k - k}}{\binom{n}{k}}$

Das Ergebnis müsste 1 sein. Und das bekommt man nur, wenn der zweite Faktor 1 ist. Dieser hat die Bedeutung, wie viele Möglichkeiten hat man aus 0 Nieten 0 auszuwählen. Dieser Faktor fällt praktisch weg. Als neutrales Element der Multiplikation hat dieser den Wert 1.

Answer 2

[mihisu]

Sollte laut Pascalschem Dreieck ja eig. nicht gehen

Wie kommst du darauf? Auch im Pascal'schen Dreieck gilt binomial(0, 0) = 1.

Ansonsten könnte man beispielsweise auch die Definition

${{n}\choose{k}}=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}\quad\text{ für }n, k\in\mathbb{N}_0\text{ mit }k\leq n$

verwenden und erhält wegen 0! = 1 dann

${{0}\choose{0}}=\frac{0!}{0!\cdot 0!}=\frac{1}{1\cdot 1}=1$

Answer 3

[MichaelH77]

0! ist als 1 definiert, damit ist 0 über 0 =1

auch der Taschenrechner zeigt das so an 0nCr0 =1

Answer 4

[LORDderANALYSE]

Für den Binominalkoeffizient gilt.

$\left(n\ über\ k\right)=\frac{n!}{k!\cdot\left(n-k\right)!}$

Setzen wir das ein:

$\left(0\ über\ 0\right)=\frac{0!}{0!\cdot\left(0-0\right)!}=\frac{0!}{0!\cdot0!}=\frac{1}{1\cdot1}=\frac{1}{1}=1$

Das beruht darauf das die Fakultät von Null (0!) Einz ist.
Darauf kommt man z.B. durch die Definition mit der Produktform:

$n!=\prod_{k=1}^nk$ $0!=\prod_{k=1}^0k=1$

Oder auch durch die Beziehung von der Fakultät zur Gammafunktion:

$Γ\left(n+1\right)=n!$

$0!=Γ\left(0+1\right)=Γ\left(1\right)=1$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung