Stochastik: Wie viele Teilmengen hat eine 10-elementige Menge insgesamt - Art der Berechnung (Pascalsches Dreieck)?
Hallo liebe Community,
es geht um die Frage: "Wie viele Teilmengen hat eine 10-elementige Menge insgesamt?" beziehungsweise den Lösungsweg meines Lehrers dazu.
Ich habe dies so berechnet: (10 über 0)+(10 über 1)+(10 über 2)+(10 über 3)+(10 über 4)+(10 über 5)+(10 über 6)+(10 über 7)+(10 über 8)+(10 über 9)+(10 über 10) = 1024
Mir ist klar, dass dies sehr aufwändig ist, gerade die Frage zu einer 100-elementigen Menge gestellt worden wäre...!
Wie im Folgenden zu sehen hat mein Lehrer uns dann einen sehr einfachen Lösungsweg für diese Aufgabenart gezeigt:
Mithilfe (a+b)^n mit n=1; 2; 3; 4; 5;... haben wir uns das Pascalsche Dreieck aufgezeichnet, was ich auch noch verstehe.
Nur den Schritt, der darunter kommt, verstehe ich absolut nicht mehr [(1+1)^10], deshalb diese Frage. Mein Lehrer meinte, man könne in solchen Fällen einfach mit 2 hoch der n-elementigen Menge rechnen und komme so zum Ergebnis.
Kann diesen Gedankengang jemand kommentieren und mir verständlich machen, wieso das gilt?!
Vielen Dank im voraus und Grüße carbonpilot01
1 Antwort
Für jede Teilmenge und für jedes der 10 Elemente gilt: Entweder es ist in der Teilmenge oder es ist nicht darin. Das kann für alle 10 Elemente separat betrachtet werden.
Zwei Teilmengen sind unterschiedlich genau dann wenn es mindestens ein Element gibt, dass in der einen, aber nicht in der anderen enthalten ist.
Du hast also 10 Elemente, die alle jeweils 2 Zustände haben können.
Damit gibt es 2^10 Kombinationen.
So, mir ist alles soweit nun klar. Gibt es für das 2^n irgendeinen mathematischen Beweis oder muss man das einfach so hinnehmen?
Ich werde mir das morgen mal anschauen, falls ich dann fragen habe, könnt ihr beiden nochmal reinschauen? Vielen Dank schonmal bis hierhin.
Das ist einfach ein Weg, 2^10 als Binom (1+1)^10 mit den entsprechenden Binomialkoeffizienten zu lösen.
Die Summe der Binomialkoeffizienten von (a+b)^n entspricht immer 2^n.
Die Summe der n-ten Zeile im PD ist immer 2^n, wobei die oberste Zeile (nur eine 1) die "nullte" Zeile ist.
Das liegt daran, dass in einer gegebenen Zeile die k-te Zahl wiedergibt wie viele verschiedene Kombinationen aus n Elementen möglich sind, wenn man genau k Stück auswählt.
Wenn du jetzt alle Zahlen einer Zeile addierst erhälst du die Anzahl der Möglichkeiten n Elemente auszuwählen, also genau die Menge an Teilmengen einer n-elementigen Menge.
Und immer daran denken, daß die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist.
Ich glaube, dass ich das soweit verstanden habe. Nur was hat das dann genau mit dem Pascalschen Dreieck zu tun und wieso diese komische Schreibweise (1+1)^10=(10 über 0) + 1^10 + (10 über 1)*1^9*1^1...?