Steckbriefaufgaben - Mathematik Oberstufe
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Der Graph hat de Wendepunkt W (0/1) und berührt die Parabel mit der Gleichung y = x² + x im Scheitelpunkt.
Also ax³ + bx² + cx+d. Das heißt ich brauche 4 Bedingungen. Ich finde aber nur zwei:
f(0) = 1
f ''(0) = 0
Kann mir jemand bitte helfen. Ich schreibe Montag eine Matheklausur und sitze an der AUfgabe schon ewig.
5 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Hallo !
Ein Wendepunkt ist ein Punkt an dem gilt f´´(x) = 0 und f´´´(x) ≠ 0
Allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion dritten Grades -->
y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d
f´(x) = 3 * a * x ^ 2 + 2 * b * x + c
f´´(x) = 6 * a * x + 2 * b
f´´´(x) = 6 * a
Da am Wendepunkt W (0 | 1) die zweite Ableitung den Wert Null hat ergibt sich -->
6 * a * 0 + 2 * b = 0
b = 0
Das kann man direkt in die allegmeine Form einsetzen -->
f(x) = a * x ^ 3 + c * x + d
Nun gilt außerdem f(0) = 1
f(0) = a * 0 ^ 3 + c * 0 + d = 1
d = 1
Auch d kann man wieder direkt einsetzen -->
f(x) = a * x ^ 3 + c * x + 1
Die Parabel die zusätzlich bekannt ist hat die Gleichung h(x) = x ^ 2 + x
h´(x) = 2 * x + 1
2 * x + 1 = 0
x = -1 / 2
y = (-1 / 2) ^ 2 - 1 / 2 = - 1 / 4
Scheitelpunkt S (-1 / 2 | - 1 / 4)
Bedeutung des Begriffes "Berührung" -->
http://de.wikipedia.org/wiki/Ber%C3%BChrung_%28Mathematik%29
Es gilt also -->
f(x) = h(x) und f´(x) = h´(x) an der Stelle S(x, y)
Das entstehende Gleichungssystem lautet -->
I.) a * x ^ 3 + c * x + 1 = x ^ 2 + x
II.) 3 * a * x ^ 2 + c = 2 * x + 1
Mit dem Scheitelpunkt S (-1 / 2 | - 1 / 4) an der Stelle x = - 1 / 2 ergibt sich -->
a = -5 und c = 15 / 4
a und c kann man wieder in f(x) einsetzen -->
f(x) = -5 * x ^ 3 + (15 / 4) * x + 1
Das ist dein Endergebnis !
LG Spielkamerad
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Scheitelpunkt bestimmen: f(x)=x² + x f'(x)=2x +1 notwendige Bedingung 0=2x+1 |-1 -1=2x | :2 -0,5=x Hinreichende Bed kannste dir eig sparen,weil du weisst, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt. aber f''(-0,5) muss ungleich 0 sein und die 2.Ableitung ist ja 2 2>0 also Tiefpunkt
y-Wert des Tiefpunkts: f(-0,5)=0,25-0,5 = -0,25 Also ScheitelPunkt SP(-0,5 | -0,25)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/HellasPlanitia/1444746240_nmmslarge.jpg?v=1444746240000)
berührt die Parabel mit der Gleichung y = x² + x im Scheitelpunkt.
Da drin sind die anderen beiden Bedingungen. Überlege dir: Was bedeutet "berührt" für die Funktion (und ihre Ableitungen)? Wo ist denn der Scheitelpunkt?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/HellasPlanitia/1444746240_nmmslarge.jpg?v=1444746240000)
Ein möglicher Ansatz: Stell dir eine Parabel vor. Was für eine Ableitung hat sie am Scheitelpunkt?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizFlower/1444748945_nmmslarge.jpg?v=1444748945000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizFlower/1444748945_nmmslarge.jpg?v=1444748945000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizFlower/1444748945_nmmslarge.jpg?v=1444748945000)
ok ich hatte die 1 in der ableitung vergessen . jetzt ergibts sinn
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Volens/1444748690_nmmslarge.jpg?v=1444748690000)
Ersichtlich muss man Ableitungen von 2 Funktionen bilden.
Denn wenn die beiden sich berühren, müssen irgendwo die Steigungen ihrer Tangenten übereinstimmen sowie ein gemeinsamer Punkt da sein.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wenn Du die Koordinaten x₀ und y₀ des Scheitelpunkts gefunden hast, bekommst Du
mit f(x₀) = y₀ und f '(x₀) = 0 die anderen beiden Bedingungen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizFlower/1444748945_nmmslarge.jpg?v=1444748945000)
Ja das hab ich auch schon rausgefunden. Aber wie berechnet man den Scheitelpunkt??
![](https://images.gutefrage.net/media/user/LizFlower/1444748945_nmmslarge.jpg?v=1444748945000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
In der Mittelstufe findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung.
In der Oberstufe durch Ableiten der Funktion und Null setzen der Ableitung.
Eleganter hier: y = x² + x = x (x + 1) , also sind die beiden Nullstellen
x = 0 und x = – 1. Dann liegt x₀ = – 0,5 in der Mitte dazwischen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
In der Mittelstufe findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung.
In der Oberstufe durch Ableiten der Funktion und Null setzen der Ableitung.
Eleganter hier: y = x² + x = x (x + 1) , also sind die beiden Nullstellen
x = 0 und x = – 1. Dann liegt x₀ = – 0,5 in der Mitte dazwischen.
Das ist eben mein Problem, dass ich keine Ahnung habe, wie ich den Scheitelpunkt berechnen kann. Kannst du mir helfen?