Wie löse ich diese Textaufgabe (Mathematik)?
Es geht um ganzrationale Funktionen 3. Grades und die Aufgabe lautet:
Der Graph hat den Wendepunkt W(0|1) und berührt die Parabel mit der Gleichung y=x²+x im Scheitelpunkt.
Nun habe ich schon mal den Wendepunkt eingesetzt und herausgefunden, dass b=0 ist und durch einsetzen in die allgemeine Formel, dass d=1 ist weiter komme ich nun jedoch nicht.... Wenn ich gucke wo der Scheitelpunkt der Funktion y=x²+x ist und diesen in die Gleichung einsetze bekomme ich 0,75=-0,125a -0,5c und damit kann ich nichts anfangen...
7 Antworten
Definiere die Funktionen f und g durch
f(x) = ax³+bx²+cx+d,
g(x) = x²+x.
Umformen von g in die Scheitelform mithilfe der 1.binomischen Formel liefert
g(x) = x² + 2 * x * 1/2 + (1/2)² - (1/2)²
= x² + 2 * x * 1/2 + 1/4 - 1/4
= (x+1/2)² - 1/4
Dann ist der Scheitelpunkt von g bei S(-1/2 / -1/4).
f hat Wendepunkt bei W(0/1). Dann ist d = 1.
Die erste und die zweite Ableitung von f sind
f '(x) = 3ax² + 2bx + c,
f ''(x) = 6ax + 2b.
Da W(0/1) Wendepunkt und somit x = 0 Wendestelle ist, folgt b = 0.
Zwischenergebnis:
f(x) = ax³ + cx + 1
Da der Graph von f den Graphen von g in S(-1/2 / -1/4) berührt, muss gelten
f(-1/2) = -1/4 und
f '(-1/2) = g '(-1/2).
Wegen g '(x) = 2x+1 ist g '(-1/2) = 0, also
f '(-1/2) = 0.
Dass g '(-1/2) = 0 gilt, kann man auch damit begründen, dass S(-1/2 / -1/4) Scheitelpunkt der Parabel und folglich Extrempunkt von g ist. Dann muss die Steigung in S notwendigerweise 0 sein.
Die beiden Bedingungen f(-1/2) = -1/4 und f '(-1/2) = 0 müssen nun noch verwendet werden.
Aus f '(-1/2) = 0 ergibt sich wegen f '(x) = 3ax² + c
0 = 3a * (-1/2)² + c,
I: 0 = 3/4 a + c.
Aus f (-1/2) = -1/4 ergibt sich wegen f(x) = ax³ + cx + 1
-1/4 = a * (-1/2)³ + c * (-1/2) + 1,
-5/4 = -1/8 a - 1/2 c,
II: -5/2 = -1/4 a - c.
I + II liefert -5/2 = 1/2 a, also a = -5.
Damit ergibt sich c = 15/4.
f(x) = -5x³ + 15/4 x + 1
Ansatz:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Angaben verwerten:
Wendepunkt bei W(0|1) --> f(0)=1 und f''(x)=0
Anschließend Scheitelpunkt der Parabel ermitteln ; da ein Berührpunkt vorliegt, sind Steigung und Funktionswert der Parabel gleich der Steigung und dem Wert der Funktionsgleichung, du hast also 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die folgende Form:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Außerdem: g(x) = x² + x
Bilden wir die Ableitungen im Voraus:
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
g'(x) = 2x + 1
Formen wir die Informationen zu mathematischen Gleichungen um:
"Der Graph hat den Wendepunkt W(0|1)"
Wenn der Graph bei (0 | 1) einen Wendepunkt besitzt, muss dieser Punkt logischerweise auf dem Graphen liegen.
Daher gilt: f(0) = 1
Außerdem heißt Wendepunkt, dass die zweite Ableitung null ist.
Also: f''(0) = 0 ⇔ 2b = 0 ⇔ b = 0
"und berührt die Parabel mit der Gleichung y=x²+x im Scheitelpunkt."
Der Graph berührt einen anderen Graphen. Daraus folgt einerseits, dass der Berührpunkt auf beiden Graphen liegt und andererseits, dass die Graphen im Berührpunkt dieselbe Steigung haben.
Mathematisch:
Scheitelpunkt liegt bei (-0,5 | -0,25)
Also: f(-0,5) = -0,25
Und: f'(-0,5) = g'(-0,5)
Somit haben wir folgende Informationen:
f(0) = 1
f(-0,5) = -0,25
f'(-0,5) = g'(-0,5)
Umschreiben durch Einsetzen:
f(0) = 1 ergibt:
d = 1
——
f(-0,5) = -0,25 ergibt:
-0,25 = a*(-0,5)³ + b*(-0,5)² + c*(-0,5) + d
-0,25 = -0,125a + 0,25b - 0,5c + d
-0,25 = -0,125a + 0,25b - 0,5c + 1
0 = -0,125a + 0,25b - 0,5c + 1,25
——
f'(-0,5) = g'(-0,5) ergibt:
3a*(-0,5)² + 2b*(-0,5) + c = 2*(-0,5) + 1
0,75a - b + c = 0
0,75a + c = 0
Dies ergibt ein lineares Gleichungssystem:
I. 0 = -0,125a - 0,5c + 1,25
II. 0,75a + c = 0
Davon: IL = {(-5 | 3,75)}
Und b = 0 sowie d = 1
Daher gilt zusammengefasst:
a = -5
b = 0
c = 3,75
d = 1
Und das war's schon:
f(x) = -5x³ + 3,75x + 1
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
y=ax³+bx2+cx+d
W(0/1) → d=1
f '' (0)=0 → b=0
S(-1/2 ; -1/4)
f(-1/2) = -1/4 → ...........
2x+1=3ax²+2bx+c → b=0 und x= -1/2 einsetzen
Ich denke, die Angabe von gfntom hat geholfen.
Du hast nur einen kleinen Rechenfehler: die quadratische Parabel hat im Scheitelpunkt den y-Wert -0,25, nicht 0,75.
Ich habe die -0,25 in der Formel schon mit d verrechnet, daher die 0,75 :)