Sind Polynome vom Grad >3 ein Untervektorraum?
Hi, sind Polynome vom Grad >3 ein Untervektorraum?
Gibt es da eine besondere Regel, da man immer wieder davon ließt, dass nur Polynome vom Grad kleiner gleich 3 einen Untervektorraum haben
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wenn du dich nur auf die Menge der Polynome mit Grad echt größer als 3 beschränkst, dann nein, da die Menge nicht abgeschlossen ist.
Wenn du die Polynome Vom Grad <= n meinst, wo n eine Natürliche Zahl ist, dann ist es ein Untervektorraum vom Vektorraum der Polynome.
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Es ist sowohl bezüglich der Addition und Multiplikation nicht abgeschlossen.
Nein, das n wird vorher festgelegt. Ich meinte damit das zum Beispiel die Menge der Polynome mit Grad <= 5 ein Untervektorraum ist.
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aha, aber inwiefern ist die Addition nicht abgeschlossen? Denn wenn man zb grad 4 und grad 5 Polynome addiert, erhält man ein Polynom vom Grad 5, und das ist doch größer als Grad 3. Oder verstehe ich die Angabe nicht?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willibergi/1624532782057_nmmslarge__0_0_120_120_040779a85bcf89fd282fa9af46f30da0.png?v=1624532782000)
Das hängt vom Körper ab und muss nicht sein. Betrachten wir ℤ/2ℤ[x] und das Polynom f = x⁴, dann ist zwar f vom Grad 4, aber f + f = 0 und damit vom Grad 0.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RitterToby08/1584378644394_nmmslarge__43_0_196_196_060359107108e9d78f799637f51e4c9d.png?v=1584378644000)
0 hat aber Grad ∞. Polynome vom Grade größer gleich n>0 sind aber nie ein Untervektorraum unabhängig vom Grundkörper. Dazu kann man einfach x^n+1 und -x^n betrachten. Die Summe ist gleich 1 und damit vom Grad 0.
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0 hat aber Grad ∞.
Kann es sein, dass du -unendlich meinst? Denn das ist die Definition die ich kenne
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![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Sind Polynome vom Grad >3 ein Untervektorraum?
Nein, da die Menge in Bezug auf die Vektoraddition nicht vollständig ist.
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![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
ist die Menge in der Addition nicht abgeschlossen oder meinst du generell die Menge von den Graden, da es unendlich viele Zahlen über 3 gibt?