Mit der Quantenmechanik solltest du klarkommen. Eventuell brauchst du noch etwas Funktionalanalysis (Operatoren, Hilberträume, Spektralsätze), aber diese sollte in einem Buch über Quantenmechanik auch erklärt werden. Für die Quantenmechanik würde ich mich aber auch in Theoretischer Mechanik (u.a. Hamilton-Funktion) einlesen.

Die spezielle Relativitätstheorie sollte auch nicht schwierig sein, da sie mathematisch recht einfach ist.

Mit der allgemeinen sieht es aber ganz anders aus. Hier wirst du um Differentialgeometrie (Tensoren, (Lorentz-) Mannigfaltigkeit, Geodätische) nicht herum kommen. Wobei ich mich da auch eher an den Matheteilen in Physikbücher orientieren würde, als an reine mathematische Bücher über Differentialgeometrie. So etwas wie De-Rham-Kohomologie wirst du nicht brauchen.

Mit Quantenfeldtheorien kenne ich mich nicht aus. Davor würde ich aber sowieso erst versuchen, Quantenmechanik und Elektrodynamik zu verstehen.

Auf welchem Niveau willst du dich den in Physik einlesen? Schulniveau oder eher in den Unistoff? Unabhängig davon würde ich aber mit Mechanik anfangen. Für das Schulniveau kann ich dir Leifiphysik empfehlen. Da sind gute Aufgaben (inkl. Lösungen) und Erklärungen enthalten. Allgemein kannst du dich für die Schule auch an die Lehrpläne in deinem Bundesland (oder einem anderen) richten. Also schau einfach mal da rein, wie da Physik aufgebaut ist.

Ich finde die Frage etwas schlecht formuliert. Gebraucht impliziert ja, dass ich es nötig war so viel pro Woche zu arbeiten. Ich habe meine Arbeit in den Semesterferien geschrieben und habe einfach so lange pro Woche daran gearbeitet. Nötig wäre es aber nicht gewesen. Die Arbeit habe ich an der Uni geschrieben.

Meiner Meinung nach sollte es stimmen. Ich sehe jetzt keinen Fehler, aber die ... Argumente können natürlich trügen. Für den Fall AB=BA kann man es einfacher ausrechnen:

Dieses Ergebnis kommt dann auch bei deiner Formel raus:

Also ein gutes Zeichen.

Was ist deine genaue Frage? Ein Tensor erster Stufe ist einfach ein Vektor. Die Aussage kannst du auf verschiedene Weisen zeigen. Einfach per direkter Rechnung, über das Levi-Civita-Symbol oder über bereits bekannte Identitäten.

Du bist eigentlich fast fertig. Überlege dir mal warum du so

 umformen kannst. Damit kannst du den Beweis abschließen.

Möglich ist es. Wobei es natürlich wichtig ist sich vorher zu überlegen, was du überhaupt lernen willst. In deiner Frage steht etwas von Geometrie. Aber welche Geometrie? Die Elementargeometrie aus der Mittelstufe, die analytische Geometrie der Oberstufe oder verschiedenen Geometrierichtungen (algebraische Geometrie, Differentialgeometrie) wie sie in typischen Univorlesungen zu finden sind. Je nach Ziel kannst du dir dann einen Fahrplan ausarbeiten. Welche Voraussetzungen und -kenntnisse brauche ich? Wo finde ich das mir fehlende Wissen? Wie viel Zeit nehme ich mir dafür bzw. kann ich dafür aufwenden? Und so weiter. Falls du mehr in Richtung universitärer Themen gehen willst, schadet es auf keinen Fall Lineare Algebra I und evtl. auch Analysis I zu lernen. Dazu gibt es sehr viele Skripten und Bücher mit vielen Übungen. Die zwei Vorlesungen bilden die Grundlage eines Mathematik Studiums und sind einerseits Grundlage für viele aufbauende Themen. Andererseits helfen sie sich an die mathematische Denkweise zu gewöhnen. Gerade Lineare Algebra hat auch viele Bezüge zur Geometrie.

Ob du Vorteile bezüglich des Denkens im Vergleich zu Schüler hast. kann ich nicht beurteilen. Möglicherweise bist du etwas freier, da du dir für dich interessante Themen aussuchen kannst. Der Besuch einer Schule/ Universität ist insofern besser, da du obigen Plan bereits ausgearbeitet erhältst. Zudem werden in den Vorlesungen die wichtigsten Dinge relativ kompakt dargestellt und man muss sich nicht durch ganze Bücher schlagen. Die Motivation ist auch noch so eine Sache. An der Uni hat man zumindest durch Prüfungen den Druck den Stoff zu lernen und auch zu sehen, wie gut man ihn versteht. Beim Eigenstudium kann das zu kurz kommen.

Ja genaue bei der Transformation auf die euklidische Normalform müssen die Eigenvektoren orthogonal (sogar orthonormiert) sein. Das sind deine zwei nicht. In der Aufgabe wurde auch anders vorgegangen als bei dir. Wir kennen v1 schon und dann wählen wir direkt v2, so dass er senkrecht auf v1 steht. Das Kreuzprodukt braucht man nicht, da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix immer orthogonal sind.

Im Grunde ja. Der einzige Unterschied ist, dass der Gradient ein Spaltenvektor und das ein Zeilenvektor ist. Oder genauer formuliert: Df(x) ist der transponierte Gradient. Für die Berechnung der Extremstellen macht das aber keinen Unterschied.

Habt ihr einen (erlaubten) Spickzettel? Wenn ja, dann würde ich auf keine Fall Teile des Skripts auswendig lernen. Falls nicht, dann kann es nicht schaden die wichtigsten Sätze im Kopf zu haben. Meistens kann man diese aber sowieso schon durch das Durchrechnen von Aufgaben vor der Klausur. Ansonsten würde ich dir einfach empfehlen Altklausuren oder Klausuren aus dem Internet zu rechnen. Vor allem zu Lineare Algebra I und Analysis I gibt es dazu viele mit Lösungen. Mehr habe ich eigentlich nicht gemacht.

Geschrieben habe ich sie mit Word. ;)

Als Quellen habe ich Bücher und Internetartikel verwendet. Manche Bücher habe ich mir gekauft, da sie nicht sehr teuer waren. Das ist aber bei vielen Fachbücher nicht so, da kommt man sehr schnell auf höhere Preise. An der nächstgelegen Unibibliothek habe ich mir dann Bücher angeschaut, die mir entweder zu teuer waren oder die ich nur für einige Abschnitte benötigt habe. Ich habe mir die Bücher aber nicht ausgeliehen. Dafür braucht man als Nicht-Student einen Bibliotheksausweis und diesen wollte ich nicht extra beantragen.

Bei n ungleich -1 kommt schon 0 raus:



So kann man diese Aufgabe leider nicht bearbeiten. Das Problem ist, dass g keine periodische Funktion ist. Daher gibt es keine Darstellung als Fourierreihe. Diese sind nämlich immer periodisch. Was du hier berechnen musst, ist die Fourier-Transformierte.

Hast du schon auf Englisch gesucht? Bei solchen Spezialgebieten wird man auf Deutsch kaum was finden. Ich bin relativ schnell auf das Gebiet der "Gravitational Biology" gestoßen. Vielleicht ist das ja etwas an das deine Suche anknüpfen kann. Ich habe zum Beispiel zwei Bücher zu diesem Gebiet gefunden:

• Gravitational Biology I
• Gravitational Biology II

Diese Bücher drehen sich zwar, soweit ich es im Inhaltsverzeichnis erkennen kann, nicht um globale Entwicklungen des gesamten Ökosystem, sondern um die Mikroprozesse in den Pflanzen. Aber eventuell kann man ja vom einen auf das andere schließen. Zudem könntest du in den jeweiligen Quellen weitere hilfreiche Arbeiten finden.

Das Problem wird aber wohl auch sein, an die Bücher zu kommen. Ohne universitären Zugang könnte es da schwierig werden.

Hier geht es im Grunde nur darum, die Definition von gleichmäßig stetig stehen zu haben.

Was bei der Abschätzung von

unter anderem gemacht wird, ist x^2 nach oben abzuschätzen. Da x in [1,2] liegt, folgt x^2<=4. Nun will man ganz am Ende stehen haben:

,denn das steht auch so in der Definition von gleichmäßig stetig. Daher muss man den Teil mit sin(x^2/N) noch geeignet abschätzen. Wir versuchen ihn daher gegen ε/4 abzuschätzen, da dann ganz am 4*ε/4=ε stehen bleibt. Genau das was wir wollen.

Im Grunde könnte man auch einfach ε statt ε/4 wählen. Dann hätte man

Daraus würde immer noch gleichmäßige Konvergenz folgen, da ε sowieso beliebig klein werden kann. Aber in der Mathematik mag man schöne Lösungen, daher schätzt man so ab, dass am Ende nur noch ein ε wie in der Definition von gleichmäßig stetig steht.

Noch als Tipp: Oft sieht man vielleicht nicht direkt, was die "schöne" Abschätzung sein soll. Du kannst daher auch einfach mal ein ε' wählen und schauen, wie man das dann besser festlegen kann. Also man wählt das ε' erst nachdem man fertig ist. Im Beweis sieht es dann aber so aus, als wüsste man es a priori schon.

Also entweder du kopierst die Argumente der Aufgabe einfach und dann solltest du auch den anderen Fall beweisen können. Alternativ kannst du dir folgendes überlegen. Zuerst sehen wir:



Daraus folgt:



Allgemein gilt zudem det(A)=det(A^T). Insgesamt erhalten wir:



Wenn du dir die Summe über 1/k^2 und 1/(k+1)^2 ansiehst, merkst du vielleicht, dass in beiden Reihen die fast die selben Summanden vorkommen. Der einzige Unterschied ist, dass die Reihe über 1/k^2 noch ein zusätzliches 1/1^2 enthält. Du kannst also die Reihe über 1/(k+1)^2 als die Reihe über 1/k^2 abzüglich 1 schreiben.

Ja, der Gradient der Funktion reicht. Wobei natürlich gewisse Regularitätsbedingungen erfüllt sein müssen. Was du ja vermutlich eigentlich willst, ist ein Normalenvektor der Untermannigfaltigkeit M=f^-1{0}, wobei

stetig differenzierbar ist. Damit M aber wirklich eine (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, müssen wir ∇f(x) ≠ 0 für alle x in M fordern. Für x aus M ist ∇f(x) dann auch ein Normalenvektor von M in x. Wichtig ist also ∇f(x) ≠ 0!

Ich kann dir natürlich nicht sagen, wie dieser Professor eine mündliche Prüfung gestaltet. Zudem waren meine mündlichen Prüfungen anders gestaltet. Aber als allgemeiner Tipp: Falls ihr eine Fachschaft für Physik habt, kannst du mal schauen, ob diese Prüfugnsprotokolle haben. Da kann man sehen, wie die Prüfungen gestellt werden.

Lambda ist eine Diagonalmatrix. Die transponierte Matrix einer diagonalen Matrix ist wieder die gleiche Matrix. Um das zu sehen, nehmen wir einfach mal an, dass A diagonal ist und B=A^T. Dann gilt b_ij=a_ji. Für i ungleich j gilt aber a_ji=0=a_ij, also auch b_ij=0 und damit b_ij=a_ij. Für i=j gilt b_ii=a_ii. Insgesamt gilt also b_ij=a_ij und damit A=A^T.