Warum hat jedes polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle?
Hi liebe Leute, kann mir jemand verständlich erklären wieso jedes polynom ungeraden Grades mindestens eine nullstelle hat ?
7 Antworten
Weil die Graphen im negativ-unendlichen immer entgegengesetzt verlaufen wie im positiv-unendlichen. Einfach gesagt: Startet der Graph unten links, verläuft er rechts nach oben. Startet er links oben, verläuft er rechts unten weiter. Das heißt wiederum, dass die x-Achse mindestens einmal geschnitten wird.
Bei Funktionen mit geradem Grad kann es wie z.B. bei Parabeln (2. Grad) passieren, dass sie nach oben geöffnet sind und oberhalb der x-Achse liegen. Dann gibt es keine Nullstelle.
Das wäre jetzt die graphische Erklärung.
Bilde den limes für x gegen unendlich und x gegen -unendlich und verwende den Zwischenwertsatz.
Weil der Graph ja ins Unendlich geht und das einmal von links unten nach rechts oben (bei positiver Funktion )oder von links oben nach rechts unten (wenn der graph negativ ist),somit muss der Graph an einer Stelle mindestens durch die X Achse gehen
Weil dieses Polynom von -unendlich "kommt," und nach +unendlich "geht" (oder anersherum) und deswegen die x-Achse unweigerlich schneiden muss
Weil beim Verhalten im Unendlichen die Werte immer in einer Richtung gegen + unendlich und in der anderen Richtung gegen - unendlich laufen.
Dabei muss dann die X-Achse zwingend einmal geschnitten werden und deswegen gibt es mindestens eine Nullstelle.