Zeigen oder widerlegen Sie?
Zeigen oder widerlegen Sie:
a)Es gibt ein Polynom f ∈ Z/6Z[x] mit deg(f) = 2 und 4 Nullstellen.
b)Es existiert ein kommutativer Ring R zusammen mit einem nullstellenlosen Polynom f ∈ R[x] mit deg(f) = 1
brauche Hilfe!
und wo genau brauchst du Hilfe und wie genau lautet deine konkrete frage? diese Frage ist nicht teil der Aufgabe.
ich versteh halt nicht wie man die Aufgabe löst (bzw. wie ich zeigen kann das a und b gelten / nicht gelten)
1 Antwort
(a) f(x) = x*(x+1) = x^2 + x ist ein solches Polynom in Z/6Z[x]. Die beiden Nullstellen x = 0, -1 (mod 6) kann man sofort ablesen. Wegen 2*3 = 3*4 = 0 (mod 6) erkennt man ebenfalls die beiden zusätzlichen Nullstellen x = 2, 3 (mod 6).
Man kann dies natürlich auch einzeln nachprüfen:
f(0) = 0^2 + 0 = 0 (mod 6)
f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 = 0 (mod 6)
f(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 = 0 (mod 6)
f(5) = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30 = 0 (mod 6)
Solche „pathologische“ Beispiele kann man immer konstruieren, wenn der Koeffizienten-Ring nicht nullteilerfrei ist…
(b) Man kann wiederum R = Z/6Z wählen und f(x) = 2*x + 1 mit Grad 1; f ist nullstellenfrei in Z/6Z, was klar ist, da alle Funktionswerte ungerade Restklassen sind, 0 hingegen eine gerade Restklasse in Z/6Z.
Noch einfacher ist das Beispiel R = Z, der Ring der ganzen Zahlen mit demselben Polynom f(x) = 2*x + 1. Hier wird jede ganze Zahl auf eine ungerade ganze Zahl abgebildet. f hat somit keine Nullstellen in Z.
:-)