Zeigen oder widerlegen Sie?
Zeigen oder widerlegen Sie:
a)Es gibt ein Polynom f ∈ Z/6Z[x] mit deg(f) = 2 und 4 Nullstellen.
b)Es existiert ein kommutativer Ring R zusammen mit einem nullstellenlosen Polynom f ∈ R[x] mit deg(f) = 1
brauche Hilfe!
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
und wo genau brauchst du Hilfe und wie genau lautet deine konkrete frage? diese Frage ist nicht teil der Aufgabe.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
ich versteh halt nicht wie man die Aufgabe löst (bzw. wie ich zeigen kann das a und b gelten / nicht gelten)
1 Antwort
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ChrisGE1267/1713780995668_nmmslarge__399_0_2521_2521_09c67a06d645267d51c3bed5e5ce7406.jpg?v=1713780996000)
(a) f(x) = x*(x+1) = x^2 + x ist ein solches Polynom in Z/6Z[x]. Die beiden Nullstellen x = 0, -1 (mod 6) kann man sofort ablesen. Wegen 2*3 = 3*4 = 0 (mod 6) erkennt man ebenfalls die beiden zusätzlichen Nullstellen x = 2, 3 (mod 6).
Man kann dies natürlich auch einzeln nachprüfen:
f(0) = 0^2 + 0 = 0 (mod 6)
f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 = 0 (mod 6)
f(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 = 0 (mod 6)
f(5) = 5^2 + 5 = 25 + 5 = 30 = 0 (mod 6)
Solche „pathologische“ Beispiele kann man immer konstruieren, wenn der Koeffizienten-Ring nicht nullteilerfrei ist…
(b) Man kann wiederum R = Z/6Z wählen und f(x) = 2*x + 1 mit Grad 1; f ist nullstellenfrei in Z/6Z, was klar ist, da alle Funktionswerte ungerade Restklassen sind, 0 hingegen eine gerade Restklasse in Z/6Z.
Noch einfacher ist das Beispiel R = Z, der Ring der ganzen Zahlen mit demselben Polynom f(x) = 2*x + 1. Hier wird jede ganze Zahl auf eine ungerade ganze Zahl abgebildet. f hat somit keine Nullstellen in Z.
:-)