schwieriges Integral?

Ich suche eine Stammfunktion zu:

f(x)= (ln(x))^n

Wobei n Element der natürlichen Zahlen ist, ohne der Null.

Answer 1

[sebastianla]

Ich habe gerade den Bronstein nicht zur Hand, aber soweit ich mich erinnere, sind die Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen (also ln, arc sin, arc cos, arc tan, ar sinh usw.) alle nicht geschlossen integrierbar.

Comments

[ralphdieter]

∫ ln x dx = x(ln x - 1) + C

Answer 2

[nobytree2]

f(x) = (ln(x))^n

Ich finde keine. Ich bin mal gespannt, ob jemand hier eine Lösung hat.

Substitution: Das Integral der äußeren Funktion von z^n * dz wäre 1/(n+1) * z^(n+1)

Würden wir aber 1/(n+1) * (ln(x)^(n+1) ableiten, so hätten wir noch den Effekt der inneren Ableitung: (n+1) * 1/(n+1) * ln(x)^n * 1/x, das letztere ist die innere Ableitung.

Die sich bildende innere Ableitung kann ich jedoch nicht eliminieren. Also F(x) = St(ln(x)^n * g(x)) mit g(x) = innere Ableitung von f(x) wäre lösbar, z.B. Stammfunktion von (ln(x)^n)*1/x.

Partiell: mit Erweiterung um Faktor 1: f(x) = 1 * (ln(x))^n

St(f(x)g(x)) = F(x)g(x) - St(F(x)g'(x))

führt zu  nichts: xln(x)^n - St(x*1/x*n*ln(x)^(n-1)) = xln(x)^n - St(nln(x)^(n-1))

Es gibt aber natürlich noch die numerischen Lösungen, nach denen suchst Du aber wahrscheinlich nicht.

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[nobytree2]

xln(x)^n - St(nln(x)^(n-1))

= xln(x)^n - nSt(ln(x)^(n-1))

= xln(x)^n - n*(xln(x)^(n-1) - (n-1)St(ln(x)^(n-2))

= xln(x)^n - n*(xln(x)^(n-1) - (n-1)(xln(x)^(n-2)-(n-2)St(ln(x)^(n-3))

= xln(x)^n - n*(xln(x)^(n-1) - (n-1)(xln(x)^(n-2)-(n-2)(xln(x)^(n-3)-(n-3)St(ln(x)^(n-4))

okay, kann man villeicht eine Regel draus machen

xln(x)^n - Summe(z! * x*ln(x-i)) oder ähnlich

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

geht nur rekursiv:

x*(ln(x))^n-n*Int ((ln (x))^(n-1))

Willy

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[ralphdieter]

Nur rekursiv?

• y₀ = x
• yₙ = x·lnⁿ⁻¹x -n·yₙ₋₁
• yₙ = x·n!·Σ (-1)ⁿ⁻ⁱ/i! lnⁱ x (i=0...n)

Sieht doch gar nicht so schlimm aus.

[nobytree2]

was ist lnt?

[KunXz]

@nobytree2

Integral

Answer 4

[Halbrecht]

Hammer ! Mit Gamma-Funktion !

Ohne den Rechenweg , den die Seite https://www.integralrechner.de/ , die RayVin dankenswerterweise schon erwähnt hat , zeigt , wäre es ein endloses schreiben hier

Answer 5

[RayVin]

die seite hat mir ziemlich geholfen bei integralen. und ich meine jez nich einfach nur abschreiben sondern wegen dem rechwenweg (kann man anzeigen lassen)
https://www.integralrechner.de/

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung

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[Halbrecht]

auf der Seite kann man wirklich was lernen !