Quadratische Ungleichung mit Betrag?

Hey ihr😊

ich komme bei folgender Ungleichung nicht ganz weiter:

Ich hab eine Fallunterscheidung gemacht für das x im Betrag, dass es einmal größer gleich Null und einmal kleiner Null ist.

Das Selbe auch für den Nenner, wobei -3 nicht zur Definitionsmenge dazugehöhrt.

Kombiniert man diese Fälle, hat man 4 verschiedene Möglichkeiten auf eventuelle Lösungen zu kommen. Ich habe die Gleichung für jeweils alle 4 Möglichkeiten nach x aufgelöst und dann mit der pq-Formel weiter gerechnet.

Allerdings habe ich für alle 4 Möglichkeiten immer die selben Werte erhalten: x= -2 und x=4.

Laut Lösung soll man aber bekommen: {x<-3; x≥1+√23; -2<x≤4}

Ich habe meinen Rechenweg für den Fall x≥5 und x>3 mit beigefügt.

Bei den restlichen Fällen hat die Gleichung natürlich anfangs etwas andere Zeichen, aber wenn ich auflöse, komme ich immer wieder auf 0≤x^2 -2x -8

Hat jemand vielleicht eine Idee wo mein Denkfehler liegt?

Dankeschön im vorraus 😊

Answer 1

[gauss58]

D = R \ { -3 }

Fall 1)

x - 5 >= 0 ⇔ x >= 5

Fall 2)

x - 5 < 0 ⇔ x < 5

Fall 1.1)

x + 3 > 0 ⇔ x > -3

Fall 1.2)

x + 3 < 0 ⇔ x < -3

Fall 2.1)

x + 3 > 0 ⇔ x > -3

Fall 2.2)

x + 3 < 0 ⇔ x < -3

Das führt zu:

Fall 1.1)

7 <= x² - 2x - 15

x >= 1 + √23 ∨ x <= 1 - √23

L_1 = [1 + √23 , ∞)

Fall 1.2)

7 >= x² - 2x - 15

1 - √23 <= x <= 1 + √23

L_2 = { }

Fall 2.1)

7 <= -x² + 2x + 15

-2 <= x <= 4

L_3 = [-2 , 4]

Fall 2.2)

7 >= -x² + 2x + 15

(-∞ , -2] ∪ [4 , ∞)

L_4 = (-∞ , -3)

L_ges = L_1 ∪ L_2 ∪ L_3 ∪ L_4

L_ges = (-∞ , -3) ∪ [-2 , 4] ∪ [1 + √23 , ∞)

Answer 2

[Halbrecht]

7/(x+3) <= |x-5|

.

mit MINUS (x-5) statt PLUS

7 < -(x-5)(x+3)

0 < -x² + 2x + 22

x1 2 = 1 + - wurzel(23)

Answer 3

[Wechselfreund]

-15-7 ist nicht -8