Kann mir jemand bei dieser Ungleichung helfen?
Mich überfordert Bruch und Betrag in einer Gleichung... Danke!
3 Antworten
Hallo,
Du mußt einige Fallunterscheidungen machen.
Zunächst x>1. Das ist einfach. In diesem Fall sind Nenner und Zähler positiv, so daß die Betragsstriche einfach weggelassen werden können:
(x+1)/(x-1)>4 |*(x-1)
x+1>4x-4 |-x+4
5>3x |:3
5/3>x bzw. x<5/3.
Da hier nur der Bereich x>1 untersucht wurde und die Ungleichung in diesem Fall nur für x<5/3 stimmt, lautet die Lösungsmenge für diesen Bereich {x|1<x<5/3}.
Der nächste Fall ist x=1. In diesem Fall wird der Nenner gleich Null und der Bruch ist nicht definiert. x=1 scheidet also als Lösung aus.
Zwischen x>=-1 und x<1 ist x+1 nichtnegativ; die Betragsstriche des Zählers können weggelassen werden. x-1 dagegen ist in diesem Bereich negativ. Die Betragsstriche können entfernt werden, wenn man die Differenz umdreht zu x-1.
Nun lautet die Ungleichung (x+1)/(1-x)>4, was nach entsprechender Umformung zu
x>3/5 führt. Da hier nur der Bereich zwischen -1 und 1 für x untersucht wird, lautet die Lösungsmenge hier {x|3/5<x<1}.
Nun bleibt noch der Bereich x<-1. Beide Terme müssen abgeändert werden, wenn man die Betragsstriche weglassen möchte:
(-x-1)/(1-x)>4, was zu x>5/3 führt. Da dies außerhalb des betrachteten Bereichs liegt, denn 5/3 ist größer als 1, scheidet x>5/3 als Lösung aus.
Es bleibt als Lösung der Ungleichung, daß x entweder größer als 3/5 und kleiner als 1 ist oder größer als 1 und kleiner als 5/3).
Herzliche Grüße,
Willy
Am praktischsten ist für mich immer folgender Weg.
Ersetze mal die Ungleichung durch ein Gleichzeichen. Dann erarbeiten eine Lösung. Wegen der Betragszeichen muss man Fallunterscheudungen machen. Wann wird (x-1) negativ und durch den Betrag dann positiv? Wann wird (x+1) negativ und ....
Wenn du so die Lösungen hast, dann gehe das ganze nochmal mit dem > Zeichen durch. Beachte: Bei Multiplikation mit etwas Negativem dreht sich das > zu < um.
Dadurch gibt es wieder Fallunterscheidungen. Um Glück sind es dieselben Fälle wie oben.
Klingt kompliziert, aber wenn du es mal konsequent durchgezogen hast, merkst du, wie "sich alles fügt".
Mach eine Fallunterscheidung, x>1 und x<1.