(Partielle) DGL mittels FEM lösen?
Hallo, es geht wie oben beschrieben um das grundlegende Vorgehen, eine (partielle) DGL mittels der Finite-Elemente-Methode zu lösen.
Es reichen mir schon einfach die wichtigsten Schritte zusammenzufassen, dass ich mir das erstmal grob vorstellen kann da ich derzeit noch gar keine Ahnung habe.
Kann man das irgendwie in die wichtigsten 5-8 Schritte zusammenfassen?
1 Antwort
Also erstmal diskretisiert man seinen Bereich M in endlich viele Stücke, meistens in Dreiecke. Man möchte nun auf jedem dieser Dreiecke eine Funktion berechnen. Man stellt die schwache Formulierung auf, dazu multipliziert man in der DiffGleichung auf beiden Seiten mit einer Testfunktion h, dann integriert man beide Seiten über seinen Bereich M. Das nennt man schwache Formulierung weil jetzt deine Lösungsfunktion f zb Punkte haben darf, an denen f nicht ableitbar ist. Solche Punkte haben keinen Einfluss im Integral. Dann wählt man geeignete Räume für Lösungsfunktionenraum und Testfunktionenraum (meistens endlich dimensionale Räume). Da die schwache Formulierung auf den endlich-dimensionalen Räumen gelten soll ist es ausreichend, wenn die Gleichung für Basisfunktionen gilt, dh. man bekommt ein lineares Gleichungssystem was man dann lösen kann. Das ist ganz grob die Idee. Näheres kann man auf Wikipedia nachlesen:
Würde dich folgende Zusammenfassung der wichtigsten Schritten Zufriedenstellen?:
1. Problemformulierung (phys. Problem mathematisch formulieren + DGL + Rand- & Anfangswert festlegen)
2. Schwache Formulierung (Herleitung schwacher Formulierung, also DGL mit Ansatzfunktion multiplizieren & integrieren)
3. Diskretisierung (Berechnungsgebiet in endlich Teilgebiete unterteilen, z.B. Dreiecke)
4. Wahl der Basisfunktion (Definition der Ansatzfunktionen z.B. Lagrange Ansatzfunktionen)
5. Aufstellung diskreter Gleichungen (Ansatzfunktionen in schwache Formulierung einsetzen und Gleichungssystem aufstellen)
6. Lösen des Gleichungssystems (-)