Monotonie Intervalle?

Hallo zusammen, ich habe diese Funktion und muss die Monotonie Intervalle angeben : f(x) = - 1/4 x hoch vier + 5/2 x hoch zwei - 9/4

Ich habe erstmal die nullstellen berechnet ich habe 1, -1 und 3 und minus drei bekommen. Ist das richtig ?

Dann habe ich skizziert und kam auf diese Intervalle : ] - unendlich bis -3 ] fallend steigend bei minus drei bis -1 wieder fallend bei minus eins bis eins wieder steigend von eins bis drei und wieder fallend von drei bis minus unendlich.

ich würde mich freuen, wenn ihr mir sagen könnt ob ich die Aufgabe richtig gemacht habe oder falsch mit Erklärungen bitte. Vielen Dank schon mal.

Answer 1

[nobytree2]

$\left(\frac{x^4}{4}+\frac{5x^2}{2}-\frac{9}{4}\right)'=x^3+5x=0\to x=0$

Aus x³ + 5x sieht man direkt, dass im negativen Bereich die Ableitung negativ ist und im positiven Bereich positiv. Bzw. man sieht es sogar noch direkter aus der Funktion, geht auch ohne Ableitung:

$f\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+\frac{5x^2}{2}-\frac{9}{4}=x^2\cdot\left(\frac{1}{x}x^2+\frac{5}{2}\right)-\frac{9}{4}=x^2\left(k_1x^2+k_2\right)+k_3$

mit k als konstanten. Die Konstanten ändern hier nichts daran, dass x² (hier zweifach) zu einer Parabel führt. Offensichtlich ist die Funktion achsensymmetrisch. So kommt man auch zu obiger Lösung.

Answer 2

[oskar250]

Ich habe erstmal die nullstellen berechnet ich habe 1, -1 und 3 und minus drei bekommen. Ist das richtig ?

Nein, du brauchst die nullstellen der ableitung