Weiß vielleicht jemand, wie bei dieser Aufgabe vorzugehen ist?
Die Aufgabe ist folgende: Zwei Jungs spielen Tennis miteinander. Da beide gleich starke Spieler sind, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Satz zu gewinnen, für beide gleich groß. Heute Nachmittag machen sie eine Wette: Wer zuerst drei Gewinnsätze macht (also drei mal ein Spiel gewonnen hat) gewinnt einen Preis.
Als Aufgabe steht, dass man die Anzahl der im Mittel zu erwartenden Sätze an diesen Nachmittag bestimmen soll.
Weiß vielleicht jemand wie bei dieser Aufgabe vorzugehen ist?
3 Antworten
Überlege Dir, wieviele Möglichkeiten es jeweils für einen Spieler gibt, in 3, 4 bzw. 5 Sätzen zu gewinnen und multipliziere das mal 2, weil die gleiche Anzahl ja für beide Spieler gilt. Das dann mal der entsprechenden Wahrscheinlichkeit für jeweils einen dieser Ausgänge und Du weißt schon einmal die Wahrscheinlichkeiten für 3, 4 bzw. 5 nötige Sätze.
Der Erwartungswert ist dann die Summe aus Satzanzahl mal entsprechender Wahrscheinlichkeit, also E(X)=3*P(X=3)+4*P(X=4)+5*P(X=5), mit X=Anzahl der gespielten Sätze.
In der Mathematik führt einen der Instinkt öfter mal aufs Glatteis, gerade wenn's um Wahrscheinlichkeiten geht! :)
Du meinst wer das 7. Spiel gewinnt, gewinnt den Satz? Das habe ich auch oft gehört und hat man dann auch häufiger mal drauf geachtet ("damals" als ich noch Tennis geguckt habe). Dachte da immer eher an psychologische Gründe (weil kurz vor Satzende) als an mathematische! :)
Das war eine mündliche Mitteilung von Dr. Friedrich Chaselon gewesen ( leider schon recht früh verstorben ) , dem Entwickler des PRE - Maßes DEL für nominal-skalierte Daten .
Findet man nur nirgends :((
Seinerzeit ( vor 2000 ) hat die Berechnung noch die komplette Rechenanlage der Uni Bremen in Anspruch genommen .
Ich bin etwas verwirrt. Vielleicht kann man mir helfen...?
Grundannahme meinerseits war, dass jeder Satz exakt 50:50 zugunsten o bzw. x ausgehen kann (analog einem Münzwurf o. Ä., welcher ebenso nur zwei Ausgänge kennt. Jeder Satz geht mit gleicher Wahrscheinlichkeit zugunsten o oder x aus).
Ich verstehe die Lösung 4,125 Sätze nicht (für die Anzahl der zu erwartenden Sätze eines Matches). Ich komme nämlich auf 4,5 Sätze, die im Schnitt gespielt werden müssen in einem Match. Was ja zweifellos eine beträchtlichen Unterschied darstellt.
Aus meiner Grundannahme ergaben sich dann folgende mögliche Satzverläufe für ein Match:
2 Dreierwege: ooo und xxx
6 Viererwege: ooxo oxoo xooo (+3 "umgekehrte")
12 Fünferwege: ooxxo oxoxo oxxoo xooxo xoxoo xxooo (+6 "umgekehrte")
Es gibt somit 20 verschiedene mögliche Matches. Jedes dieser 20 Matche ist gleich wahrscheinlich.
Diese 20 Matches benötigen insgesamt 90 (2*3 + 6*4 + 12*5) Sätze.
Im Durchschnitt benötigt ein einzelnes Match also 90/20=4,5 Sätze
Was ist falsch an meiner Rechnung? Habe ich etwas übersehen oder stimmt etwas an meinen Überlegungen nicht?
Da ein Match sofort beendet ist, wenn o bzw. x dreimal insgesamt vorkam, habe ich insgesamt 20 Matches gefunden, die sich allesamt in der Abfolge x und o eindeutig unterscheiden lassen. (Ich bin mir recht sicher, dass diese 20 gefundenen möglichen Matchverläufe keinerlei Möglichkeit übersehen haben und keinerlei Dopplung beinhalten. Liegt trotzdem ein Fehler vor?)
Ich bitte darum, mir kurz meinen Denk- bzw. Berechnungsfehler aufzuzeigen.
Der Erwartungswert ist dann die Summe aus Satzanzahl mal entsprechender Wahrscheinlichkeit, also E(X)=3*P(X=3)+4*P(X=4)+5*P(X=5), mit X=Anzahl der gespielten Sätze.
Ich begreife zudem diese Rechenformel nicht. Kann man mir diese kurz erläutern?
Danke in jedem Fall für eine Antwort/Kommentar.
Deine Annahme "Jedes dieser 20 Matche ist gleich wahrscheinlich" ist falsch! Die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel nach 3 Sätzen vorbei ist, beträgt 2*0,5³=0,25; nach 4 Sätzen 6*0,5⁴=0,375 und nach 5 Sätzen 12*0,5⁵=0,375.
Stelle Dir das nun z. B. als Urnenmodell vor: 250 Kugeln mit Nr. 3, und jeweils 375 Kugeln mit Nr. 4 und 5.
Da errechnest Du den Erwartungswert ja auch mit E(X)=Summe aus "Kugelnummern * deren Wahrscheinlichkeiten", daher E(X)=3*P(X=3)+...
Oder beim Glücksrad: da nimmst Du die einzelnen Feldnummern, multiplizierst diese mit ihrer Wahrscheinlichkeit und addierst diese Produkte, um an E(X) zu kommen.
Du hast recht, meine Annahme war verkehrt. Sehe ich ein. Danke.
Ich habe es aus deiner Erklärung allerdings mir nicht wirklich unmittelbar realisieren können. Ist aber mein Problem, nichts für ungut bitte.
Was mir schliesslich tatsächlich half, war das Anlegen eines Baumdiagramms(*) und das Abzählen der Möglichkeiten in den jeweiligen Ebenen. 2/8 in der 3. Ebene, 6/16 in der 4. Ebene und 12/32 in der untersten Ebene, was exakt 25% resp. jew. 37,5% auch ergab. Und das passte dann zu der Erklärung. Und dann ergab 0,25*3+0,375*4+0,375*5 zudem 4,125.
(*) Nach mehreren ernüchternen Versuchen mit völlig unhandhabbaren Zeichnungen legte ich das Baumdiagramm schliesslich von unten (5. Ebene, 32 Äste) her an und dann passt das ganz gut auf eine quergelegte DIN-A4 Seite^^
Was für ein Glück, dass ein Tennismatch keine 4 oder 5 Gewinnsätze dauert! :)
Bei vielen Versuchen/Schritten, wenn der Baum zu groß werden würde (oder man sich einfach die Zeit sparen will), ermittelt man die Anzahl der in Frage kommenden Pfade mithilfe der Kombinatorik (Binomialkoeffizient): bei 3 Sätzen ist's noch einfach, da gibt es nur xxx und ooo; bei 4 Sätzen steht's nach den ersten 3 Sätzen 2:1, d. h. Du musst die 2 Gewinnsätze (oder den einen - das ist dasselbe) auf diese ersten 3 Sätze aufteilen, und das ist (3 über 2) [bzw. (3 über 1)] und das ist 3, macht also diese 2*3 weil ja auch 1:2 möglich ist. Bei 5 Sätzen steht's nach 4 Sätzen 2:2, d. h. Du musst 2 Gewinnsätze auf 4 Sätze verteilen, also (4 über 2) und das ist 6, also mal 2 (für x und o) macht 12 Möglichkeiten.
D. h. allgemein: k (gleiche) Elemente auf n Plätze zu verteilen ergibt (n über k) Möglichkeiten (genau wie k Elemente aus n Elementen zu ziehen - ohne Beachtung der Reihenfolge, wie beim Lotto).
D. h., gäbe es z. B. 5 Gewinnsätze, dann gäbe es bei 8 gespielten Sätzen (nach 7 Sätzen stand es also 4:3) genau (7 über 4) bzw. (7 über 3)=35 Möglichkeiten für x, d. h. 2*35=70 Pfade, die 5:3 ausgehen.
Also zuerst ist schonmal wichtig zu wissen , dass die Wahrscheinlichkeit , dass einer einen Satz gewinnt bei 50% liegt.
Mit dieser Info wissen wir , dass mindestens 3 Spiele gespielt werden müssen damit jemand die Wette gewinnt und maximal 5 Spiele gespielt werden können bis einer gewinnen muss, da es kein Unentschieden gibt. Mit diesen Infos sollte es dir denke ich gelingen die Antwort zu finden, falls nicht antworte ich gerne auf weitere fragen.
g gewonnen........................n nicht
.
X ist die Anzahl der nötigen Sätze
das ist möglich
: 3 Sätze :
ggg
: 4 Sätze :
nggg
gngg
ggng
: 5 Sätze :
nnggg
ngngg
nggng
gnngg
gngng
ggnng
.....
Die P s sind jeweils 0.5 hoch 3 , 4 bzw 5
.
1*0.5^3 + 3 * 0.5^4 + 6*0.5^5 ...........................( = 0.5 , die andere Hälfte gleich )
.
Für den anderen gilt das mit vertauschten g und n auch ( die andere Hälfte )
.
E(X) = 2*1*0.5³ * 3 + 2*3*0.5^4 * 4 + 2*6*0.5^5 * 5 = 4.125
.
was mich erstaunt , hätte ich doch eine glatte 4 erwartet . Aber dafür ist Mathematik ja da
Bei fünf Sätzen gibt es insgesamt 16 Möglichkeiten:
xxooo; xoxoo; xooxo; oxxoo; oxoxo; oxoox; ooxxo; ooxox und noch mal acht mit vertauschten Rollen. So kommst Du auf einen Mittelwert von 4,75. Bei gleich starken Partnern ist ein Fünfsatzspiel auch eher zu erwarten als bei Partnern, von denen einer wesentlich stärker ist als der andere.
nun , 4.75 kommt mir wirklich zu hoch vor . Aber "vorkommen" ist ja kein Argument.
zum Glück habe ich eine Möglichkeit gefunden , die mich beim Vergleich unserer Listen nicht durcheinanderkommen lässt.
Hätte mir auch so auffallen können , aber nun gut
Diese beiden bei dir ::::::::: oxoox; ooxox sind keine Möglichkeiten , weil vor dem fünften schon dreimal ooo vorhanden ist .
Deine 8 hätten auch eine Wahrscheinlichkeitsmasse von über 0.5 für die eine Hälfte bedeutet
Deswegen hatte ich als Kontrolle
1*0.5^3 + 3 * 0.5^4 + 6*0.5^5 ...........................( = 0.5
gerechnet
Bei (ausschliesslicher Betrachtung von möglichen Matches mit) 5 Sätzen komme ich auf bloss 12 Möglichkeiten.
ooxxo
oxoxo
oxxoo
xxooo
xoxoo
xooxo
6 Möglichkeiten für o, das Match in 5 Sätzen zu entscheiden.
Hinzu kommen selbstredend 6 analoge (umgekehrte) Möglichkeiten für x, insgesamt also 12.
UND zudem gibt es ja auch noch ein paar mögliche Matches, welche in 4 oder sogar in bloss 3 Sätzen bereits entscheiden sind.
4 Sätze:
ooxo
oxoo
xooo
3 Möglichkeiten für o, wiederum +3 durch die analogen Siege von x, insgesamt also 6.
3 Sätze:
ooo
1 Möglichkeit für o, auch hier +1 durch den analogen 3-Satz-Sieg von x, insgesamt also 2.
---> Ich kam dadurch insgesamt auf 4,5 Sätze.
Diese 20 Matches benötigen insgesamt 90 (2*3 + 6*4 + 12*5) Sätze.
Im Durchschnitt benötigt ein einzelnes Match also 90/20=4,5 Sätze
Korrektur: Es gibt 20 Möglichkeiten. Durchschnitt ist 4,125. Hab's noch mal nachgerechnet. Die Antwort von Halbrecht ist korrekt. Bin unabhängig davon auf die gleiche Antwort gekommen.
E(X) ( vorbehaltlich gravierender Irrtümer meinerseits ) ist 4.125 ................was mich erstaunt , hätte ich doch eine glatte 4 erwartet . Aber dafür ist Mathematik ja da