Was ist die Formel für ein duales Urnenmodell bei dem 6 Kugeln auf 3 Urnen verteilet sind, wobei die Kugeln unterscheidbar sind aber die Urnen nicht?
Hallo
was ist die Formel für ein duales Urnenmodell bei dem 6 Kugeln auf 3 Urnen verteilet sind, wobei die Kugeln unterscheidbar sind aber die Urnen nicht?
2 Antworten
hier: https://www.cits.ruhr-uni-bochum.de/imperia/md/content/may/dima08/06_urnen.pdf gibt es eine schöne Übersicht über alle dualen Urnenmodelle, insbesondere auf Seite 73 findest du eine Übersicht. Der betrachtete Fall (beliebige Aufteilung von n unterscheidbaren Bällen auf m nicht unterscheidbare Urnen) führt zu der Formel:
wobei S_n,k jeweils die Verteilung von n unterscheidbaren Kugeln auf k ununterscheidbare Urnen ist, bei der keine Urne frei bleibt. S_n,k heißt Stirlingzahl zweiter Ordnung. Es gibt dafür auch eine geschlossene Formel, schau mal bei Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Stirling-Zahl#Stirling-Zahlen_zweiter_Art
Du hast folgende Fälle:
Die sechs Kugeln werden so verteilt, dass nur eine Urne verwendet wird (und die anderen zwei leer bleiben). Dafür gibt es genau eine Variante (6,0,0) (alle sechs in einer).
Die sechs Kugeln werden so verteilt, dass zwei Urnen benutzt werden. Dafür gibt es die Möglichkeiten: (5,1,0), (4,2,0) (3,3). Da die Kugeln unterscheidbar sind, gehören zu jeder Möglichkeit mehrere Varianten, nämlich 6 für die erste (5 aus 6 bzw. 1 aus 6), 15 für die zweite (4 aus 6 bzw. 2 aus 6) und 10 für die zweite (3 aus 6, aber hier kommt jede Variante doppelt vor, also durch 2 teilen). Macht 31 Varianten.
Die sechs Kugeln werden so verteilt, dass drei Urnen benutzt werden. Dafür gibt es die Möglichkeiten (4,1,1), (3,2,1) und (2,2,2). Zur ersten Möglichkeit gibt es 15 Varianten (4 aus 6) , zur zweiten gibt es 60 Varianten (3 aus 6 multipliziert mit 2 aus 3) und für die dritte gibt es 15 Varianten (2 aus 6 multipliziert mit 2 aus 4, aber hier kommt jede Variante wieder mehrfach vor, daher durch 6 teilen). Das sind nochmal 90 Möglichkeiten.
Ich komme so auf 122, kann mich aber auch verrechnet haben.
Eine wirklich hübsche (leicht zu merkende) geschlossene Formel gibt es nicht.
Formel: Anzahl der Verteilungen = S(n,k)
Für die Aufgabe also: S(6,3) = 3 * 25 + 15 = 75 + 15 = 90
Es gibt also 90 Möglichkeiten, 6 unterschiedliche Kugeln auf 3 unterschiedliche Urnen zu verteilen.
Die Urnen sollen nicht unterscheidbar sein.