Mathe - y=x^3 überall steigend?
Sind Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent überall steigend? Ich dachte bei (0I0) ist sie weder steigend noch fallend. Deswegen wäre doch beispielsweise die Potenzfunktion y=x^3 nicht überall steigend, oder?
4 Antworten
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Wenn Du mit steigend das Vorzeichen der ersten Ableitung meinst: x³ ist in 0 nicht steigend, sondern hat eine waagrechte Tangente.
Wenn Du unter steigend (strenge) Monotonie verstehst: x³ ist streng monoton.
Die beiden Begriffe hängen natürlich zusammen:
streng monoton steigend <==> f' >= 0 und fast überall f'>0.
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"Steigend" ist nicht wirklich eine Eigenschaft, die in einem einzelnen Punkt definiert ist. Mathematiker sagen:
"Eine Funktion f ist streng monoton steigend, wenn für alle a > x auch f(a) > f(x) gilt." (vllt würden sie es formaler und unverständlicher ausdrücken, aber das ist die Idee).
Die Steigung in x = 0 ist zwar 0, aber trotzdem sind alle Funktionswerte "rechts" davon positiv und "links" davon negativ. Daher hält diese Steigung die Funktion nicht davon ab, streng monoton steigend zu sein.
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Überlege mal die an der x-Achse gespiegelte Funktion: y = -x³ ? Die steigt nirgends.
Zurück zu deiner Frage: y = x³ ist überall steigend. In (0|0) ist die Steigung zwar = 0, aber links von (0|0) ist der y-Wert kleiner als 0 und rechts von (0|0) ist der y-Wert größer als null. Das gilt auch für sehr kleine Abstände von (0|0).
Allgemein sind Funktionen dritten Grades nicht überall steigend. Die können auch Extrema haben, also ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. y = x³ hat keine solchen Extrema.
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nein sind sie nicht