mathe - potenzen! graphen und verschiedene lösungen
warum kann ein graph mit einem ungeradem exponent nur eine lösungen haben?
2 Antworten
Wenn ich deinen Kommentar zur anderen Antwort verwende ist das schon so, dass da wichtige neue Informationen dazukommen, das hättest du schon gleich in deiner Frage nenen sollen. Weil "Graph mit ungeradem Exponent" kann immer noch ziemlich viel sein. Aber gut, es scheint ja um einfache Potenzgleichungen mit ganzen Exponetnen zu handeln.
Nehmen wir doch erst mal den ganzen Fall für gerade Potenzen durch, also bspw x²=5 oder x^4=-3 usw. Dann ist klar: Es kann hier nur keine oder zwei Lösungen geben (Einzige Ausnahme: "=0" hat genau eine Lösung). Der Grund dafür ist vermutlich klar: x hoch eine gerade Zahl kann nur positiv sein. Desnn selbst wenn x negativ ist, heben sich die Minuszeichen auf (also bspw: (-2)^4=(-2)* (-2) *(-2) *(-2)=+16), weil es eben eine gerade Anzahl von Minuszeichen sind. Das heißt aber auch, dass bei einner Potenz mit gerader Zahl dasselbe rauskommt wenn ich statt dem eigentlichen x-Wert den negativen x-Wert insetze. Also: (-2)² ist dasselbe wie 2² oder (-3)^4=3^4. Wenn wir jetzt eine Gleichung x^n_ g=a haben (n_ g soll andeuten, dass n hier gerade ist), dann suchen wir ja einen Wert für x, sodass die Gleichung erüllt ist. Wenn a jetzt negativ ist, wissen wir, dass es keine Lösung geben kann, denn jede Zahl hoch eine gerade Zahl muss etwas positives ergeben. Wenn a dagegen positiv ist, dann haben wir auf jeden Fall zwei Möglichkeiten, um die Gleichung zu lösen weil nämlich die negative Zahl auch noch eine Lösung darstellt. Also: x²=16 wird sowohl für x=4 als uch für x=-4 gelöst.
Wenn wir jetzt eine ungerade Hochzahl haben, dann ist das natürlich nicht mehr so: (-2) ³=-8 aber 2³=8. Das heißt zum einen: Ich kann für jede Zahl auf der rechtn Seite eine Lösung finden, auch wenn diese Zahl negativ ist. Wenn da also bspw. x^5=-10000 steht, dann muss man sich eben überlegen, welche Zahl 5mal multipliziert -10000 ergibt. Und dabei wird eben klar, dass das möglich ist, wenn x negativ ist. Aber es ist eben möglich. Entsprechend würde man eben für +10000 das auch hinkriegen, nur müsste nur eine positiven Zahl für x verwenden.
Oder anders erklärt: Wenn ich x mit einer ungeraden Zahl potenziere, dann ist das Ergebnis für jede Zahl x anders: Wenn ich zwei Zahlen habe, die sich vom Betrag her unterscheiden (also bspw. (5 und 3) oder (2 und -3) aber nicht (2 und -2) ), dann ist auch x^n immer unterschiedlich, egal ob ngerade ist oder ungerae. Ich denke, dass das leicht einsehbar ist. Wenn die zwei Zahlen dagegen vom Betrag gleich sind aber unterschiedliche Vorzeichen haben (also bspw. (-2 und 2)) dann kommt bei einer geraden Hochzahl für beide Zahlen dasselbe Ergebnis raus, bei ungerader Hochzahl unterscheiden sich die ERgebnisse ebenfalls. Das heißt damit auch: Wenn ich x^n=a Mit einer ungeraden Zahl n habe, kann es nur eine Lösung gebn. Schließlich kann ich wegen der zuvor erklärten Tatsache keine zwei verschiedenen x finden, die in x^n eingesetzt dennoch dasselbe Ergebnis liefern.
Tschuldigung für den langen Text, ich befürchte, dass ich mich mehrmals wiederholt habe. Irgendwie fällt es mir etwas schwer, das zu beschreiben, obwohl eigentlich recht einfach ist :-)
nein nein der lange text ist schon okay ich hab mir auch alles durchgelesen und so langsam fang ich auch an das zu verstehen (: vielen dank
Da steht sinngemäß doch sowas:
"Erkläre, warum die Gleichung x^n = a (a ist ungleich) für ungerade n nur eine Lösung hat, für gerade n aber zwei."
(Sicher steht da auch "Gleichung" und nicht "Graph", denn ein Graph hat keine Lösung(en), eine Gleichung aber schon. Evt geht es da aber um Schnittpunkte des Graphen mit einer waagerechten Geraden, wodurch man auf die Gleichung kam).
Bekanntlich gilt: "Minus mal Minus gibt Plus" und "Plus mal Minus gibt Minus".
Das bedeutet natürlich auch:
"Minus mal Minus mal Minus" = "Plus mal Minus" = "Minus"
"Minus mal Minu mal Minus mal Minus" = "Plus mal Minus mal Minus" = "Minus mal Minus" = "Plus".
etc.
Man sieht:
- Ein Produkt von ungeradzahlig vielen negativen Zahlen ergibt eine negative Zahl
- Ein Produkt von geradzahlig vielen negativen Zahlen ergibt eine positive Zahl
Hast du nun x^n = a und n ist gerade, und wäre x=b eine Lösung, dann ist auch -b eine Lösung. Denn wenn n gerade ist, ist b^b bzw (-b) ein Produkt aus geradzahlig vielen Faktoren, und also fällt eine negatives Vorzeichen weg.
a = b^n = (-b)^n
Man hat dann immer noch die Lösung mit dem negativen Vorzeichen, wenn n gerade ist. Also zwei Lösungen insgesamt (a >0 natürlich vorausgesetzt).
Bei ungeradem n fällt eine negatives Vorzeichen aber nicht weg, da wäre b^n was anderes als (-b)^n (es ist ein Produkt aus ungeradzahlig vielen Faktoren), also gibt es da bloß eine Lösung.
hier steht aber auch noch das es nicht die lösungen 2 und -3 haben kann, warum ist das so?
Die Lösungen können sich dann nur durchs Vorzeichen unterscheiden, zB
2 und -2: Unterschied nur im Vorzeichen. 2^4 = (-2)^4 = 16
3 und -3, zB 3² = (-3)² = 9
Aber 2 und -3 unterscheiden sich ja nicht nur im Vorzeichen.
Denn wenn n gerade ist, ist b^b bzw (-b) ein Produkt aus geradzahlig vielen Faktoren, ...
Schreibfehler! Das sollte natürlich heißen:
"Denn wenn n gerade ist, ist b^n bzw (-b) ein Produkt aus geradzahlig vielen Faktoren, ..."
Ich hoffe aber, es war auch so klar, dass das "hoch n" heißen musste
danke, jetzt hab ich das auch verstanden (:
hier steht aber auch noch das es nicht die lösungen 2 und -3 haben kann, warum ist das so?