Lösungsmenge bei einer Polynomdivision?
Meine Frage ist recht kurz...
Wie gibt man die Lösungsmenge einer Polynomdivision an, bzw. kann man hier überhaupt die Lösungsmenge L={ } angeben?
3 Antworten
Du brauchst ja schon mal eine Lösung für die Polynomdivision überhaupt. Denn der Divisor ist der aus der ersten Lösung gewonnene Linearfaktor.
Für eine Gleichung dritten Grades bekommst du dann noch maximal 2 Lösungen heraus. Alle drei versammelst du in der Lösungsmenge IL , wenn die anderen reell sind, sonst nur die am Anfang erratene Lösung.
Bei höherem Grad der Gleichung ist es dann auch nicht anders.
Die Leermenge { } gibst du nur an, wenn es gar keine Lösungen gibt.
Aber dann bekommst du auch keine Polynomdivision zustande.
Eine Polynomdivision ist eine Termumformung. Die Lösung ist ein äquivalenter Term, der dann hinter dem Gleichzeichen steht:
(x³-1) / (x-1) = x²+x+1 (genau wie bei "26 / 2 = 13")
Die Lösung ist natürlich nicht ganz eindeutig (1+x+x² wäre z.B. auch richtig). Aber wenn alle das Standardverfahren benutzen, werden auch alle Lösungsterme "buchstabengetreu" übereinstimmen.
Der Begriff "Lösungsmenge" ist nur bei Gleichungen, Ungleichungen oder anderen Aufgaben sinnvoll, die Variablen (=Unbekannte, die man bestimmen soll) enthalten. Bei einfachen Aufgaben mit einer Variablen (meistens "x") gibt es nur eine richtige Lösung für x. Dann darf man getrost
x = Ergebnis
schreiben. Sobald aber mehrere richtige Lösungen (oder keine) möglich sind, schreibt man besser (bei endlich vielen Lösungen):
x∈{ Ergebnis₁, Ergebnis₂, ... }
oder etwas umständlicher:
x∈𝕃 mit 𝕃={ Ergebnis₁, Ergebnis₂, ... }
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Möglicherweise bringst Du zwei verschiedene Aufgabentypen durcheinander:
- Die Nullstellen eines Polynoms sind alle Werte x, für die das Polynom den Wert 0 hat. Hier löst man eine Gleichung mit einer Variablen und listet alle Ergebnisse in Form einer Lösungsmenge auf.
- Bei einer Polynomdivision will man nur einen hässlichen Bruchterm vereinfachen. Dann hängt man den berechneten Term nur mit einem Gleichzeichen hinten dran. Hier steht zwar auch ein x in der Rechnung, aber das soll ja nicht bestimmt werden. Im Gegenteil: Die Umformung soll für alle x richtig sein.
Typ 2 ist oft ein Hilfsmittel (genau wie Ausklammern, Kürzen, ...), um eine schwierige Aufgabe vom Typ 1 in mehreren Schritten zu lösen.
Wenn man eine PD macht kommen doch wahrscheinlich mehrere ergebnisse raus da die funktion 4. grades oder höher ist. (denke ich mal warum sonst eine PD)