Lgs lösen?

Wie löse ich das LGS? Meine Idee ist es mit dem gaus Verfahren, davor die x Spalte mit der z Spalte vertauschen, denn sonst stört das kx1

Answer 1

[mihisu]

Meine Idee ist es mit dem gaus Verfahren

Ja, Gauß-Verfahren ist ein guter Ansatz. Und? Woran scheitert es nun? Warum führst du das Verfahren nicht durch?

davor die x Spalte mit der z Spalte vertauschen, denn sonst stört das kx1

Ja, kann man machen, wenn man möchte. Muss man aber nicht unbedingt.

[Auch wenn ich mich wundere, warum du da etwas von „x Spalte“ bzw. „z Spalte“ schreibst, wenn du doch nirgends solche Spalten hast, sondern du hier wohl die „x₁-Spalte“ bzw. „x₃-Spalte“ meinst.]

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

[Dabei halte ich mich auch an deinen Vorschlag mit dem Vertauschen der ersten Spalte mit der dritten Spalte.]

$\begin{array}{rcrcrcr} k\,x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ x_1 & + & k\,x_2 & + & 4\,x_3 & = & 1 \\ x_1 & + & x_2 & + & x_3 & = & 1\end{array}$

Vertausche die x₁-Spalte mit der x₃-Spalte.

$\begin{array}{rcrcrcr} x_3 & + & x_2 & + & k\,x_1 & = & 1 \\ 4\,x_3 & + & k\,x_2 & + & x_1 & = & 1 \\ x_3 & + & x_2 & + & x_1 & = & 1\end{array}$

Addiere das (-4)-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile.
Addiere das (-1)-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile.

$\begin{array}{rcrcrcr} x_3 & + & x_2 & + & k\,x_1 & = & 1 \\ & & \left(k-4\right)\,x_2 & + & \left(1-4k\right)\,x_1 & = & -3 \\ & & & & \left(1-k\right)\,x_1 & = & 0\end{array}$

Führe nun eine Fallunterscheidung durch. Je nachdem, wie groß k ist, entstehen nun nämlich gegebenenfalls Nullzeilen.

------ 1. Fall: 1 - k = 0 bzw. k = 1 ------

Wird die letzte Zeile zu einer Nullzeille. Man erhält dort 0 = 0, was immer wahr ist. Dementsprechend fällt die dritte Zeile weg. In den ersten beiden Zeilen erhält man...

$\begin{array}{rcrcrcr} x_3 & + & x_2 & + & \,x_1 & = & 1 \\ & & -3\,x_2 & - & 3\,x_1 & = & -3\end{array}$

Nun hat man eine Stufenform erreicht. Offensichtlich kann man x₁ frei wählen [da dort ein entsprechender Sprung in der Stufe ist]. Wähle also x₁ = t beliebig. Damit erhält man entsprechend der zweiten Zeile...

$-3\,x_2 -3\,t = -3\quad \Leftrightarrow\quad -3x_2=-3+3\,t\quad \Leftrightarrow\quad x_2=1-t$

Setzt man das nun in die erste Zeile [nach Erreichen der Stufenform] des Gleichungssystems ein, erhält man...

$x_3 + 1 - t + t = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x_3 + 1 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x_3 = 0$

Also erhält man in diesem Fall die Lösungen...

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\1-t\\0\end{pmatrix}\quad\text{ mit beliebigem }t\in\mathbb{R}$

------ 2. Fall: k - 4 = 0 bzw. k = 4 ------

In diesem Fall erhält man einen Sprung bei der x₂-Spalte in der Stufenform, da der entsprechende Koeffizient k - 4 gleich 0 wird. Man erhält nun weiter...

$\begin{array}{rcrcrcr} x_3 & + & x_2 & + & 4\,x_1 & = & 1 \\ & & & & -15\,x_1 & = & -3 \\ & & & & -3\,x_1 & = & 0\end{array}$

Nun kann man schnell erkennen, dass die letzten beiden Zeilen im Widerspruch zueinander sind. Das Gleichungssystem hat in diesem Fall also keine Lösung.

Bzw. wenn man sich stattdessen weiter am Gauß-Verfahren orientieren möchte, könnte man folgendermaßen weiterrechnen...

Dividiere durch -15 in der zweiten Zeile...

$\begin{array}{rcrcrcr} x_3 & + & x_2 & + & 4\,x_1 & = & 1 \\ & & & & x_1 & = & 0\text{,}2 \\ & & & & -3\,x_1 & = & 0\end{array}$

Addiere das 3-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile...

$\begin{array}{rcrcrcr} x_3 & + & x_2 & + & 4\,x_1 & = & 1 \\ & & & & x_1 & = & 0\text{,}2 \\ & & & & 0 & = & 0\text{,}6\end{array}$

In der letzten Zeile steht nun ein Widerspruch. Das Gleichungssystem hat in diesem Fall keine Lösung.

------ 3. Fall: Es ist 1 - k = 0 und k - 4 = 0, also k ∉ {1; 4}. ------

In diesem Fall hat man mit...

$\begin{array}{rcrcrcr} x_3 & + & x_2 & + & k\,x_1 & = & 1 \\ & & \left(k-4\right)\,x_2 & + & \left(1-4k\right)\,x_1 & = & -3 \\ & & & & \left(1-k\right)\,x_1 & = & 0\end{array}$

... bereits eine Stufenform erreicht. Dann erhält man durch Rückwärtseinsetzen weiter...

Auflösen der dritten Zeile nach x₁ liefert:

$x_1=0$

Einsetzen von x₁ = 0 in die zweite Zeile und Auflösen nach x₂ liefert:

$x_2=\frac{3}{4-k}$

Einsetzen von x₁ = 0 und x₂ = 3/(4 - k) in die erste Zeile liefert:

$x_3=1-\frac{3}{4-k}$

Also erhält man in diesem Fall die Lösung...

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\frac{3}{4-k}\\1-\frac{3}{4-k}\end{pmatrix}$

Comments

[Sweetdreams271]

Danke! Nur bei k=1 verstehe ich nicht warum man x1 frei wählen kann

[Tannibi]

@Sweetdreams271

Weil mit k = 1 die 1. und 3. Zeile identisch sind und damit
linear abhängig.

[mihisu]

@Sweetdreams271

Das habe ich dazu in meiner Antwort geschrieben...

da dort ein entsprechender Sprung in der Stufe ist

Etwas ausführlicher beschrieben...

Weil du wegen der wegfallenden Nullzeile ein unterbestimmtes Gleichungssystem hast. Und da kannst du dann Variablen frei wählen. Welche du frei wählen darfst, kannst du daran erkennen, dass du in der Stufenform in der entsprechenden Zeile einen Sprung hast. Du hast in der Stufenform keine Zeile die in der x₁-Spalte beginnt, dementsprechend darfst du x₁ frei wählen.