Funktionsscharen Extrempunkt berechnen?
Bestimmen Sie die Extrempunkte der Graphen von fa in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt einer der Extrempunkte auf der x-Achse?
f(x)=1/3*x^3-a*x
f‘(x)=x^2-a
f“(x)=2x
NB: f‘(x)=0
x^2-a=0 | +a
x^2= a | +/- Wurzel
x1=a x2=-a
Ab hier bin ich nicht mehr weiter gekommen.
Ich weiß, dass ich nun die x Werte in die zweite Ableitung setzen muss, komme aber auf keine eindeutige Ergebnisse vor allem für die Frage, bei welchen Wert von a ein Extrempunkt auf der x-Achse liegt.
3 Antworten
Zunächst ist nach den Extrempunkten in Abhängigkeit von a gefragt:
f'(x) = 0 gilt für x1 = sqrt(a) oder x2 = - sqrt(a)
Bei x1 liegt ein lokales Minimum, denn f''(x1) > 0
Bei x2 liegt ein lokales Maximum, denn f''(x2) < 0
Im Sonderfall a = 0 liegt bei f(0) ein Sattelpunkt vor.
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Damit ein Extrempunkt auf der x-Achse liegt, muss gelten:
f(x1) = 1/3*a*sqrt(a) - a*sqrt(a) = 0
oder
f(x2) = -1/3*a*sqrt(a) + a*sqrt(a) = 0
Das gilt nur für a = 0. Wie oben erwähnt liegt hier aber ein Sattelpunkt, und das ist kein Extrempunkt. Somit gibt es für keinen Wert von a einen Extrempunkt auf der x-Achse.
Anderer Ansatz:
Liegt ein Extremum auf der x-Achse muss dort eine doppelte Nullstelle sein:
1/3 x³ -ax = 0
x(1/3 x² -a) = 0
Hat Nullstellen für x = 0 (immer) und zwei einfache für a>0.
Für a = 0 ist es eine dreifache -> die Bedingung ist nicht erfüllbar.
Aber es fehlt eine zweite Bedingung
Nämlich f(x) = 0
Die Nullstellen sind
mit wurz(3a) in f'(x) rein
0 = ( w(3a) )² - a
0 = 3a - a
0 = 2a
0 = a
.
Wenn ich aber die Funktion für a=0 plotte, dann sehe ich keine Extrempunkt der auf der x-Achse liegt…
Mir wird nur ein Sattelpunkt bei P(0/0) angezeigt.
genau
Entweder der Sattelpunkt darf auch als Extrema gelten
oder
die Antwort ist : Die Bedingung ist nicht erfüllbar
erste wenn man f(x) + Summand bildet , wäre es möglich
aber so ist f(x) eben nicht. Siehe die Fkt in deiner anderen Frage ! da ist +1 dabei
Ist das eine Abiklausuraufgabe oder woher stammt die Frage ?
Danke für den Stern.