Kann mir jemand erklären, was das meint?

Kann mir jemand erklären, was ich bei der Aufgabe berechnen soll, und was die tiefgestellten Zahlen bedeuten sollen? Welches Integral genau berechne ich damit?

Answer 1

[mihisu]

und was die tiefgestellten Zahlen bedeuten sollen

Bei der Definition der Integralfunktion, die du im ersten Bild gegeben hast, steht...

$I_a\left(x\right)=\int\limits_{a}^{x}f\left(t\right)\,\text{d}t$

Die tiefgestellte Zahl hinter dem I gibt hier also die untere Integralgrenze an. [Die obere Integralgrenze ist variabel und wird hier mit der Variable x bezeichnet.]

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In dem von dir zweiten Bild ist bereits ein komplettes Beispiel angegeben...

Die Funktion f ist durch die Funktionsgleichung

$f(x)=-x^2+3$

gegeben. Eine mögliche Stammfunktion dazu ist durch

$F(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x$

gegeben. [Beim Finden dieser Stammfunktion sollte dir insbesondere die Potenzregel helfen. Insbesondere: Wenn man x² bzgl. x integrieren möchte, kann man den Exponenten um 1 erhöhen (also von 2 auf 3) und dann die Potenz durch den neuen Exponenten dividieren, was zu einem Faktor 1/3 führt.]

Nun soll I₋₂(x) berechnet werden. Wegen dem Index -2 bei I₋₂(x) soll -2 die untere Integralgrenze sein. Die obere Integralgrenze ist die Variable x. Da man x als obere Integralgrenze verwendet, sollte man die Integrationsvariable nicht ebenfalls x nennen, sondern nennt sie in diesem Beispiel stattdessen t, sodass man dann f(t) im Bereich von t = -2 bis t = x integrieren muss.

$I_\text{-2}(x)=\int\limits_{-2}^{x}f(t)\,\text{d}t=\ldots$

Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung kann man das Integral berechnen, indem man die Grenzen x und -2 in die Stammfunktion F einsetzt und entsprechende Differenz dieser Stammfunktionswerte bildet.

$I_\text{-2}(x)=\int\limits_{-2}^{x}f(t)\,\text{d}t=F(x)-F(2)$

$=\overbrace{-\frac{1}{3}x^3+3x}^{F(x)}-\underbrace{\overbrace{\left(-\frac{1}{3}\cdot \left(-2\right)^3+3\cdot \left(-2\right)\right)}^{F(-2)}}_{=-\frac{10}{3}}=-\frac{1}{3}x^3+3x+\frac{10}{3}$

Und genauso gehen nun die anderen Aufgaben, die du selbst berechnen sollst.