Integration von der Ableitung von arcsin?
Kann mir jemand erklären, warum man hier zur Substitution scheinbar arcsin(x) verwendet (siehe Bild), obwohl arcsin, so wie ich das sehe, nicht mal in der Gleichung steht?
2 Antworten
Du willst ja nicht den Sinus herausbekommen, sondern es ist x gesucht. In den Winkelfunktionen ist das der (Kreis-) Bogen x oder der Winkel φ.
Um nun aus dem Sinus die Variable x zu erhalten, kommt Arkussinus zur Anwendung.
Damit sich wie in der Lösung beschrieben die Wurzel leicht auflösen läßt und sich der Nenner mit dx = cos x kürzen läßt. Das ist halt einer der Tricks die man lernen muß. Und nicht der arcsin, aber der trigonometrische Pythagoras steht (versteckt) unter der Wurzel, das ist ja der Grund warum das funktioniert.
Der arcsin ist die eigentliche Substitution, u = arcsin x. Es wird dann aber nicht die direkte Substitution durchgeführt, sondern statt dessen die Umkehrfunktion genommen, d.h. x = sin u eingesetzt.
Der Arkussinus wird dann benötigt, um die Variable x aus der erhaltenen Winkelfunktion zu „extrahieren“.