Substitution in Mathe?
Hallo!
ich soll von dieser Gleichung hier die Nullstellen mithilfe einer Substitution herausfinden:
f(x)= x^4 - 25/36 x^2 + 1/9
Ich weis zwar schon die Lösung, aber wie man darauf kommt fällt mir nicht ein. Kann mir mal jemand erklären, wie man das jetzt machen muss.
Danke!!!
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
biquadratische Funktion y=f(x)=a4*x²+a2*x²+ao
Substitution (ersetzen) z=x² ergibt f(z)=a4*z²+a2*z+ao hat die Form einer Parabel
y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Normalform 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
f(z)=z²-25/36*z+1/9
p=-25/36 und q=1/9
z1,2=-(-25/36)/2+/-Wurzel((25/(2*36)²-1/9)=0,3472..+/-0,097822..
z1=0,3472+0,097822=0,44442... z2=0,3472-0,097822=0,2499..
z1=x1,2=+/-Wurzel(0,44442) und z2=x3,4=+/-Wurzel(0,2499)
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Ecaflip/1568983541297_nmmslarge__82_18_325_325_c2d8ea08570e05a6058e64957c3e9ea1.jpg?v=1568983541000)
Chapeau, wenn du die Wurzeln im Kopf ausgerechnet hast.
Sonst empfehle ich dir einen Taschenrechner, der mit Brüchen umgehen kann. Bei uns wurde damals an den Prüfungen 0.44442 statt 4/9 bzw. 0.444... als Fehler markiert.
Aber von der Vorgehensweise natürlich alles korrekt.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Substituiere x^2=z, danach hast du
und jetzt pq-Formel anwenden.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rubezahl2000/1444749506_nmmslarge.jpg?v=1444749506000)
Als "Mathetrainer" hättest du "...=0" nicht vergessen dürfen!
Die pq-Formel lässt sich nur auf quadratische Gleichungen anwenden, nicht auf Terme ;-)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Ecaflip/1568983541297_nmmslarge__82_18_325_325_c2d8ea08570e05a6058e64957c3e9ea1.jpg?v=1568983541000)
Du könntest einfach y := x² definieren und dann hättest du:
y² - 25/36 y + 1/9
Du kannst sicherlich die Mitternachtsformel anwenden und kämst dann auf:
y = 1/4, 4/9.
Nun zurück zu x:
Aus y = 1/4 folgt x = 1/2, -1/2
Aus y = 4/9 folgt x = 2/3, -2/3
Das erhältst du wenn du die Wurzel aus den Lösungen für y ziehst (da ja y = x²), und dann aber sowohl das positive als auch negative Ergebnis beachtest.
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Für diejenigen, die es interessiert, biquadratische Gleichungen ganz ohne Substitution zu lösen:
![- (Schule, Mathematik, Studium)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/338868504/0_big.png?v=1582554695000)