Sinus und Cosinus Gleichungen lösen?
Ich weiß wie die Sinus und Cosinus Fkt aussehen, ich weiß, was deren Ableitungen sind... aber ich habe noch nie irgendwelche Gleichungen mit Sinus und Cosinus gelöst
Wie löst man folgende Gleichungen: Bitte so erklären, dass es auch ein Anfänger in der Trigonometrie versteht. Danke!
2 Antworten
der trigonometrische Pythagoras ist cos² + sin² = 1
Den nutzt man bei c)
1 - sin² - sin = 1..... 1 weg und durch -1 und sin ausklammern
sin(sin+1) = 0
wird Null , wenn sin = 0 ( also bei 0 , pi und 2pi und 3pi usw )
oder wenn sin = -1 , denn dann ist die Klammer = 0 ( also bei 3/2 pi und die Periode ist 2pi )
.
Kontrolle
cos²(x) - sin(x) = 1
.
.
.
b)
tan = sin/cos
sin²(x) + tan(x) = 0 .......mal cos
sin² * cos + sin = 0
sin*(cos+1) = 0
wird Null bei 0 , pi , 2pi , 3pi usw
oder
wenn cos = -1 , bei pi , 3pi usw
.
a)
durch cos(x)
tan(x) = wurzel(3)
aus der Tabelle : 60 Grad oder pi/3 ( und Periode )
a) sin(x)= Wurzel(3) cos(x)
Bring alle x auf eine Seite
sin(x)/cos(x) = Wurzel (3)
sin/cos = tan
tan(x)=Wurzel(3)
Umkehrfunktion verwenden
x=arctan(Wurzel(3))
b)sin^2(x)+tan(x)=0
tan=sin/cos
sin^2(x) + sin(x)/cos(x) =0
Auf die andere Seite bringen
sin^2(x) = -sin(x)/cos(x)
Fall 1: sin(x)=0
--> x = k*pi, k in den ganzen Zahlen
Fall 2: sin(x) nicht Null
dann dürfen wir dividieren
sin(x)=-1/cos(x)
c) cos^2(x)-sin(x)=1
cos^2(x) = 1-sin^2(x)
1-sin^2(x)-sin(x)=1
umformen
-sin^2(x)-sin(x)=0
ausklammern
sin(x)(-sin(x)-1)=0
also ist eine Lösung dort gegeben, wo sin(x)=0 oder sin(x)=-1 gilt
sin^2(x) = -sin(x)/cos(x)
Fall 1: sin(x)=0
--> x = k*pi, k in den ganzen Zahlen
Fall 2: sin(x) nicht Null
dann dürfen wir dividieren
sin(x)=-cos(x)
Müsste da nich sin x = -1/cos x stehen?
"tan(x)=Wurzel(3)
Umkehrfunktion verwenden
x=arctan(Wurzel(3))"
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So bekommt man allerdings nur eine einzige von unendlich vielen möglichen Lösungen !
Noch ne Rückfrage zu a)
a) sin(x)= Wurzel(3) cos(x)
Bring alle x auf eine Seite
sin(x)/cos(x) = Wurzel (3)
=> Du teilst hier rechte und die linke Seite der Gleichung durch cos(x).
Kann man das einfach so machen ohne zu testen ob cos(x) 0 ist?
Bei der b) prüfst du ob sin(x) nicht 0 ist, dann dividierst du
Siehe:
Fall 2: sin(x) nicht Null
dann dürfen wir dividieren
sin(x)=-1/cos(x)
Das geht, weil der Tangens an den Stellen, an denen der Cosinus Null ist, nicht definiert ist
Deine Vorgehensweise:
-sin^2(x)-sin(x)=0
ausklammern
sin(x)(sin(x)-1)=0
Meine Fragen:
Du klammerst oben sin(x) aus
sin(x) * (-sin(x) - 1) = 0 Dein Ergebnis:
sin(x)(sin(x)-1)=0 => Was ist mit dem Minus in der Klammer vor dem sin(x) passiert, also hier (-sin(x) - 1)? Die ist in deiner Lösung verschwunden?
Rückfragen meinerseits zu c:
cos^2(x)-sin(x)=1
cos^2(x) = 1-sin^2(x) => Wo kommt auf einmal das -sin^2(x) her?
1-sin^2(x)-sin(x)=1 => Warum ist jetzt hier auf einmal das cos^2(x) verschwunden? Wie formst du dies um?
Das cos^2(x)=1-sin^2(x) ist ein Gesetz (trigonometrischer Pythagoras) das ich in dem Schritt verwende
bei der zweiten kan ich ins Grübeln
1-sin^2(x)-sin(x)=1
umformen
sin^2(x)-sin(x)=0
Da ist dir meine ich ein Vorzeichenfehler unterlaufen.