Erklärung Integration durch Substitution?

Schon mal vorab: Ich verstehe wie man das anwendet, wie die Herleitung funktioniert, also insbesondere das:

SRC: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Substitutionsregel_f%C3%BCr_Integrale#Allgemeine_Formulierung

Was noch interessant zu wissen wäre, wieso dieses scheinbar roboterhafte Verfahren mit du/dx = ...

nach dx umstellen was total komisch aussieht und dann einsetzen, überhaupt funktioniert.

Answer 1

[ChrisGE1267]

Hinter der Sache mit der Bijektivität steckt der Satz von der Inversen Funktion. Wenn die Ableitung von phi in einem Punkt ungleich 0 ist, ist phi nach dem Satz von der Inversen Funktion immer in einer Umgebung des Punktes invertierbar. Man kann dann stückweise integrieren…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[LORDderANALYSE]

Die einfachste Erklärung warum das funktioniert ohne ein höheres Verständnis über die Integration oder Infinitesimalzahlen wäre wohl die Begründung "es ist die Kettenregel rückwärts" bzw. "es ist die Kettenregel für die Integration".

Wir wissen:

$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}x} \int y\left( x \right)\, \operatorname{d}x = y\left( x \right)$

(Fundamentalsatz der Analysis: Ableiten kehrt das Stammfunktion-Bilden um)

$\frac{\operatorname{d}u\left( v\left( x \right) \right)}{\operatorname{d}x} = \frac{\operatorname{d}u\left( v\left( x \right) \right)}{\operatorname{d}v\left( x \right)} \cdot \frac{\operatorname{d}v\left( x \right)}{\operatorname{d}x}$

(Kettenregel)

Ziehen wir also das Integral von der, was du willst:

$\int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}u\left( v\left( x \right) \right)}{\operatorname{d}v\left( x \right)} \cdot \frac{\operatorname{d}v\left( x \right)}{\operatorname{d}x}\, \operatorname{d}x = \int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}u\left( v\left( x \right) \right)}{\operatorname{d}v\left( x \right)}\, \operatorname{d}v\left( x \right) \cdot \frac{\operatorname{d}x}{\operatorname{d}x} = \int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}u\left( v\left( x \right) \right)}{\operatorname{d}v\left( x \right)}\, \operatorname{d}v\left( x \right)$

Substituieren wir jetzt = v(x), so erhalten wir:

$\int_{a}^{b} \frac{\operatorname{d}u\left( v\left( x \right) \right)}{\operatorname{d}v\left( x \right)}\, \operatorname{d}v\left( x \right) = \int_{v\left( a \right)}^{v\left( b \right)} \frac{\operatorname{d}u\left( t \right)}{\operatorname{d}t}\, \operatorname{d}t = \left[ u\left( x \right) \right]_{v\left( x \right)}^{v\left( x \right)}$

Du kannst es dir aber noch einfach machen, wenn du dir einfach merkst, dass das dx nicht weiter ist als ein Faktor (eine Infinitesimalzahle Variable). Das dx heißt nichts weiter als

$dx = \lim\limits_{x \to x_{0}} \left[ x - x_{0} \right]$

also ist es einfach nur eine "unendlich kleine" (vom Betrag her) Zahl.

Das ∫ ist einfach nur ein Summenzeichen (großes schlängel s für Sum (eng. Summe)), was verhindert ist... Es ist nichts besonderes an diesen Operator, so dass nicht irgendwelche Extra-Regeln benötigt.
Anders gesagt: Es hindert dich nichts nach der Variable dx umzustellen. Eben diese Variable die dieser Grenzwert darstellt. Nach der wird umgestellt.

Eine alternative Gegenfrage wäre: Warum sollte es nicht gehen?
Da gibt es zwar je nach Definition und gegebene Bedingungen Gegenargumente, aber die sind in der Schulmathematik egal.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium