Integralbeweis?
Folgende Aufgabe muss ich auf meinem Ana-Übungsblatt bearbeiten.
Meine Beweisidee wäre diese:
Reicht nun nicht einfach Minoranten- und Majorantenkriterium im Integrationsintervall von b-delta, b um die Äquivalenz direkt zu zeigen, oder habe ich hier einen Denkehler gemacht?
2 Antworten
Ich denke, das kann man so machen - da die Funktionen f und g auf dem halboffenen Intervall [a, b) stetig sind, sind sie auf jedem abgeschlossenen Intervall [a, b - delta] stetig und damit auch integrierbar. Die einzige kritische Stelle ist der Punkt x = b, an der auf Grund der Unbeschränktheit beider Funktionen jeweils eine Polstelle vorliegen muss. Durch Deine Abschätzung sicherst Du, dass sich beide Funktionen am Pol „gutmütig“ verhalten, also integrierbar sind, genau dann, wenn eine von beiden am Pol integrierbar ist…
Sieht auf den ersten Blick nicht schlecht aus, allerdings sehe ich nicht, wo du die Positivität und die Stetigkeit verwendet hast.
Das Integral existiert nicht nur für stetige Funktionen. Wenn es die Stetigkeit nur in deinem Sinne brauchen würde, dann könnte man die Aussage auch mit schwächeren Voraussetzungen beweisen. Aber vielleicht bin ich zu spitzfindig.
Ah warte, braucht man nicht beim Majorantenkriterium stetigkeit?
Stetigkeit um die Existenz des Integrals auf allen x außer (b-delta, b) zu folgern und Positivität um das Majorantenkriterium überhaupt vernünftig zu verwenden, so, wie wir das hergeleitet haben :)