Direkte Summe beweisen?

Wie zeige ich (c)? Reicht es zwei Funktionen finde g ∈ Eig(σ, 1) und h ∈ Eig(σ, −1) und zeige dass g+h = f ? Oder ist das bei (d) sinnvoller?

Answer 1

[KunXz]

Dein Ansatz ist richtig, jedoch musst du noch nachweisen dass der Schnitt der beiden Eigenräume nur aus dem Nullelement bzw. der Null besteht. Das macht die direkte Summe aus.

Mein Ansatz:

Die beiden Eigenräume beschreiben die geraden und ungeraden Funktionen (respektive). Eine Funktion die gerade und ungerade ist, ist nur die Nullfunktion (d.h. konstant 0). Jede Funktion lässt sich zudem in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen durch:

$f\left(x\right)\ =\ \frac{f\left(x\right)\ +\ f\left(-x\right)}{2}\ +\ \frac{f\left(x\right)\ -\ f\left(-x\right)}{2}$

damit würde ich jetzt (d) verwenden um zu zeigen dass auch der gesamte Raum dadurch darstellbar ist und den Rest halt noch "formal" beweisen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium