Induktion ungleicheit mit abschätzung?
Ich grübel derzeit ein wenig über die Lösung, die meine Professorin bereitstellt. Unzwar folgende:
Warum kann ich von 2n+2n+1 zu 2n+2 schließen? Bitte einfach erklärt mit ggf. einem Beispiel.
Ich selbst hab die Aufgabe etwas anders bearbeitet:
Was ich gemacht habe:
ich habe (n+1)^2 ausgeklammert, dann hab ich mir eine 1 dazugetan, damit ich auf die form (2n+2) + 2n-1 komme und dann mache ich die kleine Abschätzung, dass 2n-1 immer größer gleich 0 sein muss, da n>=2 und im IS steht 2n+2+0
Hab ich das richtig gemacht? Zumindest ist das so, wie das von Daniel Jung gezeigt wird und vielen anderen
2 Antworten
Ich weiß ehrlich gesagt, nicht genau was dein Problem da ist, nach der Umformung wird das doch erklärt (denn: ...)
Du hast zunächst
n² + 2n +1
Jetzt weißt du aus der Induktionsbedingung, dass n² GRÖßER GLEICH 2n. Wenn du in
n² + 2n +1 also n² durch 2n ersetzt, dann wird der Ausdruck kleiner, darum hast du
n² + 2n +1 <= 2n + 2n +1
Wenn dir das klar ist, dann sollte auch der nächste Schritt kein Problem sein. Es ist leicht zu zeigen, dass für n >= 2 (denn das wird ja vorausgesetzt) immer
2n >= 4 gilt.
Insbesondere ist also 2n > 1. Soweit klar?
Jetzt mache ich wieder dasselbe wie im Schritt zuvor: Ich ersetze in dem Term
2n + 2n + 1 einmal das 2n durch 1. Da ich gerade gesehen habe, dass 1 immer echt kleiner ist als 2n, wird damit wieder der gesamte Term echt kleiner und es gilt
2n + 2n + 1 > 2n + 1 + 1 = 2n+2.
Jetzt klarer?
Du formst ja auch nur um (machst das allerdings nicht wirklich zu Ende) und benutzt einfach nur (oder würdest benutzen, wenn du das ganz zu Ende aufschreiben würdest), dass 2n-1 größer gleich Null ist. Kann man auch machen, aber korrekterweise müsstest du jetzt noch schreiben:
... ≥ 2n+2 + 2n-1 ≥ 2n+2 denn: 2n-1 ≥ 0.
Denn du sollst ja zeigen, dass (n+1)² ≥ 2n+2 ist - und das steht bei dir jetzt nirgendwo. Gäbe bei mir in der Korrektur einen Punktabzug.
Wunderbar ausführlich erklärt, nur kleiner Typo in n² + 2n +1 <= 2n + 2n +1
Ja genau. Aber genau das tust du ja auch in deiner Abschätzung.
Abschätzen heißt in der Regel:
Ich habe einen Ausdruck, wie hier 2n + 2n + 1.
Jetzt ersetze einen Teil, der mich stört, so, dass ich mich dem gewünschten Ergebnis nähere. Das kann ich eimal oder mehrmals machen. Wichtig ist dabei, dass ich nicht zuviel wegnehme.
In jedem Schritt ersetze ich hier das fettgedruckte durch das nächste fettgedruckte. Und das fettgedruckte wird immer kleiner, darum wird auch der gesamte Ausdruck immer kleiner (weil das eine positive Summe ist).
(n+1)² = n² + 2n + 1 ≥ 2n + 2n + 1 > 1 + 2n +1 = 2n + 2 = 2 (n+1)
Insgesamt habe ich also gezeigt:
(n+1)² ........ > ....... 2 (n+1)
Und das wollte ich hier ja.
Die Transitivität der Ordnungsrelation ist zu wahren, wenn also a > b > c, dann gilt auch a > c. Das kann man nutzen für eine Überleitung von a > b zu a > c bzw. von b > c zu a > c.
Beweis
Verstehe ich das richtig, dass man sich über den Abschätzungstrick praktisch genau das wegnehmen kann, was man nicht "gebrauchen" kann?
Also man 2n ist zuviel, daher schätzen wir diese ab, indem wir eine beliebe Zahl unter n>=2 nehmen, in dem fall dann 1, da die 1 uns gerade gut passt und wir damit dann zu 2n+2 kommen
?
Also bspw. (nicht sehr professionell ausgedrückt:
Wir wissen, dass n^2... >= 2n+2n+1 ist, bzw. nehmen dass durch die IB an.
Nun nehmen wir einfach aus 2n+2n+1 etwas raus, bewegen uns also in den bereich, dass das kleiner wird, kommen dann zu 2n+2 und wissen, dass 2n+2n+1>=2n+2 ist?
Also praktisch (n+1)^2>= 2n+2n+1>=2n+2