Gleichungen n- ten Grades lösen,Was sind Gleichungen n-ten Grades?
Hallo,
ich wollte fragen, was 1. Gleichungen n- ten Grades sind und 2. wie man sie lösen würde anhand des Beispiels x hoch 4 - 4 x hoch 3 = 0
Danke schon mal im voraus...
6 Antworten
Alles was Polynome sind, findet man unter
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom
Wie man die Nullstellen dieser Polynome bis Grad 4 exakt berechnet, findet man unter
http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
- Grad 1: lineare Gleichung umstellen
- Grad 2: pq-Formel
- Grad 3: PQRST-Formel (kein Schulstoff!)
- Grad 4_ PQRSTUVW-Formel (kein Schulstoff!)
Grad 5 und höher: wenig exakt lösbare Spezialfälle bekannt -> deshalb meist nur mit Näherungsverfahren (Bisektion, Newton-Verfahren -> siehe Wiki)
Merke §1: in der Schule fragen Lehrer nur leichte Spezialfälle ab!!!
wie in Deinem Fall, wo x³ ausgeklammert werden kann. Da Produkt dann 0 ist, wenn auch nur 1 Faktor 0 ist, bleibt neben der 0 nur noch eine primitive lineare Gleichung über.
Außerdem kommt man bei Lehrern immer mit Raten weiter, da kaum jemand nach Ergebnissen fragt, die außerhalb -4...4 liegen.
§2: Polynom n. Grades, hat auch immer n Nullstellen: diese können vom Typ reell oder ab Klasse 11 komplex sein (negative Wurzeln).
Doppelte Nullstellen (x² = x*x) werden meist nur 1 mal gezählt.
§3: sobald man 1 Nullstelle gefunden hat, kann diese ausgeklammert , und durch https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision
1 Grad verringert werden.
also "n" steht für eine beliebige Zahlenfolge. man nutzt diesen Ausdruck meist für allgemeine Aussagen in der Mathematik. dabei kann "n" auch mal fest definiert sein, aber dies muss dann in der Aufgabe vermerkt sein: zb im bereich "n= -6 bis 9 oder alle reellen zahlen oder ähnliches"
deine Aufgabe ist so wie du sie schriebst keine Gleichung, eine Gleichung hat noch eine zweite Seite die sich durch ein Gleichheitszeichen trennt. Steht denn auf der anderen seite eine Null?
Aber die reellen Zahlen sind doch nicht abzählbar, wie soll man da eine Folge konstruieren? o.O
3x⁴ - 4x³ + x² - 3x + 3 = 0
Das wäre eine Gleichung 4. Grades (wegen der höchsten Potenz von x).
Mit der p,q-Formel kommst du nicht weit. Wenn du nicht gerade komplizierte Näherungsverfahren benutzt (von denen ihr mindestens eins in der Schule lernt), dann bekommt man es wahrscheinlich mit Polynomdivision heraus.
Wenn du nicht weißt, was das ist, musst du etwas warten, bis es im Unterricht drankommt. Das lässt sich nicht so einfach erklären.
Spezielle Gleichungen 4. Grades lassen sich substituieren. Dann ist p,q
wieder dabei, aber eben nur biquadratische Gleichungen dieses Aufbaus:
ax⁴ + bx² + c = 0 weil man x² = z setzen kann.
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x⁴ - 4x³ ist untypisch, weil die unteren Potenzen von x fehlen.
Das ist leicht zu lösen.
x³ (x - 4) = 0 ist durch Ausklammern gewonnen worden. Und dafür gibt es nur die Lösungen {0; 4}.
n ist eine beliebige natürliche Zahl.
Gemeint sind also Gleichungen, ersten, zweiten, dritten, vierten, ..., Grades.
Zum Lösen (Nullstellen):
0 = x⁴ - 4x³
Hier bietet sich Ausklammern an;
0 = x⁴ - 4x³
0 = x³(x - 4)
Satz des Nullprodukts: x₁₋₂₋₃ = 0; x₄ = 4
Bei x = 0 existiert eine dreifache Nullstelle.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Ich habe gemäß dem Distrubitivgesetz ausgeklammert:
ab - ac = a(b - c)
In dem Fall ist das a eben x³.
x⁴ - 4x³ = x³ * x - x³ * 4 = x³(x - 4)
Man klammert immer den größtmöglichen Exponenten aus.
LG Willibergi
Gleichungen n-ten Grades sind Gleichungen, deren höchste x-Potenz n ist, also x^n (x hoch n) vorkommt. Dein Beispiel ist eine Gleichung vierten Grades, weil dort x^4 vorkommt.
Ich nehme an, du meinst x^4-4x^3=0, sonst wäre es keine Gleichung. Um diese Gleichung zu lösen, versuche irgendwas auszuklammern, siehst du da irgendwas?
Dann lass uns ein bisschen gemeinsam überlegen, ja? :) Lass uns schauen, ob wir vielleicht x ausklammern könnten. Magst du versuchen x auszuklammern? Was bekommst du heraus?
Danke erst mal für die Antwort. Ich hätte da noch zwei Fragen...
Wie kommst du beim ausklammern auf
( x -4) ? Und klammert man immer den kleinsten exponenten aus?