Gleichung 6. Grades lösen?
Hey!
Wie kann ich diese Gleichung ohne Hilfsmittel (Taschenrechner natürlich schon) lösen? y=x^6-4x^3+3
Danke!!
5 Antworten
Hallo Hasenmaus9922,
der Ausdruck
(1.1) y = x⁶ – 4x³ + 3
ist erst mal eine Funktion. Natürlich kannst Du y als zweite Variable auffassen, und das ist dann sozusagen ein unterbestimmtes Gleichungssystem (nämlich mit nur einer Gleichung für zwei Variablen) mit unendlich vielen Lösungen, bei denen x und y ein durch (1.1) festgelegte Beziehung haben.
Was Du suchst, sind natürlich Lösungen für
(1.2) y = x⁶ – 4x³ + 3 = 0,
also die Nullstellen von (1.1).
Davon, dass die höchste Potenz die 6. ist, brauchst Du Dich nicht beeindrucken zu lassen. Schließlich hat x⁶=0 auch nur eine Lösung, nämlich x=0. Rein theoretisch könnte der Grad des Polynoms (1.1) ein Problem sein, aber es existieren gar nicht alle Potenzen von x bis x⁶, sondern nur die durch 3 teilbaren.
Deshalb kannst Du x³ durch eine andere Variable ξ ersetzen, und (1.2) zu
(2.1) ξ² – 4ξ + 3 = 0,
einer quadratischen Gleichung, die sich entweder mit der berühmten pq-Formel, aber auch zu
(2.2) ξ² – 4ξ = –3,
umstellen und durch quadratische Ergänzung lösen:
(2.3) ξ² – 4ξ + 4 = 1
(2.4) (ξ – 2)² = 1
(2.5) ξ – 2 = ±1
(2.6) ξ₁ = 1 und ξ₂ = 3,
und damit ist natürlich
(3) x₁ = 1 und x₂ = ³√{3}.
Übrigens:
Wenn Du statt der Reellen Zahlen x und ξ Komplexe Zahlen z und ζ verwendest, wobei Du
(K1) z := x + iy
definierst, gibt es für (1.1) tatsächlich 6 statt nur zwei Lösungen für x. Es sind halt nur 2 davon reell.
Die jeweils anderen beiden lassen sich über die alternative Darstellung
(K2) z = |z|·e^{iφ}
finden, wobei
(K3) |z| =√{z·z*} = √{(x+iy)(x–iy)} = √{x² + y²}
der Betrag und
(K4) φ = artan(y/x)
der sog. Phasenwinkel ist.
Phasenwinkel addieren sich bei der Multiplikation, sodass der Winkel in diesem Fall auch ⅔π und -⅔π sein kann.
Erstmal ist die Gleichung nicht zu lösen. Du meinst wahrscheinlich die Nullstellen des Terms. Wenn man weiß, dass
ist, ergibt sich mit z:=x³ die Gleichung
0=z²-4z+3.
Löse diese nach z und errechne dann x.
durch substituieren, nullstellen-lösungen raten und polynomdivision
denn jedes polynom lässt sich durch seine nullstellen in der form
(x-n1) * (x-n2) * ... * (x-nm) darstellen, wobei n1 ... nm alle Nullstellen des Polynoms sind.
Im konkreten Fall also: x^6 - 4x^3 + 3 = 0 setzen
substituieren: z = x^3 => z^2 - 4z + 3 = 0
raten braucht man hier nicht, denn für polynom 2ten grades gibts die mitternachtformel, für höhere grade die nicht durch substitution weggehen dann eben raten indem du erstmal alle ganzzahligen positiven so wie negativen faktoren der konstante nimmst (im oberen fall 3 wäre das {-3; -1; +1; +3}. Und auch ohne Mitternachtsformel würde ich mit z=3 auf Null kommen und hab dann die Polynomdivision (z^2 - 4z + 3) : (z - 3) womit ich die fehlende Stelle ausrechnen kann. (das nur zur veranschaulichung wenn das Problem höheren grades wäre, ist es aber nicht).
Ok, am schluss in der komplett nach Nullstellen entwickelten Form die Substitution wieder rückgängig machen (Beispiel: (z - 3) wird zu (x^3 - 3).
Führt raten nicht zum Erfolg, dann zeichnest du den Grafen (durch Computer) und lässt durch näherungsverfahren eine nullstelle annähern und vom computer ausgeben. Also z.B. du siehst eine Nullstelle liegt zwischen 0,5 und 0,6 im Graf --- nun eben in kleinen schritten entweder binär oder sequentiell den minimalsten abstand von 0 finden. Also computer z.B. 0,5000001 ... bis 0,599999 probieren lassen .. oder schlauer: 0,55 ... 0,575 ... usw .. eben immer in die mitte eines bereichs springen.
Ersetze jedes x³ durch z, dann hast eine quadratische Gleichung, die vermutlich lösen kannst.
Nach dem Zurücksetzen kannst vermutlich auch x lösen.
Substituiere
u = x³
Das ergibt eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen. Davon die dritte Wurzel.