Probiere mal https://pure.ulster.ac.uk/ws/portalfiles/portal/91048787/Rebecca_Crawford_Half_Game_Half_Comic.pdf

Unter http://factordb.com/listtype.php?t=4&mindig=50000&perpage=100&start=0

findet man alle bekannten zertifizierten Primzahlen in einer großen Datenbank.
(hier im Link habe ich mal 50000 Stellen eingestellt)

Definiere "sehr große" genauer, denn die Mathematik ist Grenzenlos!

Größte Mersenne-Primzahl: https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933

mit über 24 Mio. Dezimalstellen lässt sich leicht beweisen.

Es gibt aber auch viel kleinere PRP Primzahlen, die zu 99,999999999% prime sind, aber nicht mal 1000 Stellen haben (wo der Beweis für echtes 100% prime bis heute nicht zertifiziert ist)

Du hast vermutlich die Klammern vergessen, denn ohne geht Potenz vor Produkt:

a) e^(x/2)-2*x=0 -> das war bestimmt gemeint

b) ohne Klammern bedeutet das: (e^x)/2-2*x=0 so wird ohne Klammern gerechnet, was nach Multiplikation mit 2 einfach e^x-4*x=0 wäre!

Variante a) ist ein Spezialfall von https://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
§5:  e^(a*x) = b*x + c mit a=1/2,b=2,c=0

x=-LambertW(-n, -(1/2)/[2*e^0])*2 mit n=-2...2 für 5 Lösungen

n | -LambertW(-n, -1/4)*2

-2| 8.11174705381230237968 - 27.70466931713454277201 i 

-1| 6.97946456845918420150 - 14.82810906019207328948 i

0 | 0.7148059123627778061376...

1 | 4.306584728220699298338...

2 | 6.97946456845918420150 + 14.82810906019207328948 i 
Die Probe mit allen 5 Argumenten bestätigt die Nullstelle!

Bis zur Klasse 12 ist die https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion oft noch nicht bekannt. Da will der Lehrer oft nur die Näherung per
https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren

im reellen Zahlenreich (also nur 2 statt 5 Lösungen).

Eigenartigerweise hat jemand im Wiki-Artikel hier unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

die LambertW-Funktion wieder herausgenommen -> typisch Menschen, die streiten gern :-)

Da die Ergebnisse irrationale Zahlen sind, kann man bei Bedarf 1 Mio. Nachkommastellen berechnen (für interessierte ...).
Unten im LINK findet man neben Mathematica 5 Rechner, die LambertW {oder ProductLog[n,x]} berechnen können.

Unter https://www.dsv.de/schwimmen/wettkampf-national/bestenlisten/ kann man sich alles herausfiltern.

Alles unter 27 s ist schon sehr gut.

0 Enter (Pi im RAM)
1 Enter (Multi, also alle Kerne)

1 Enter (25 Mio kleinste)

Nach 0,5 s liegt im Ordner der y-cruncher.exe eine txt mit 25 Mio. Stellen!

Die Frage ist eigenartig, als wenn jemand fragt:
Ich habe ein Überschall-Raketenauto: Wie kann ich damit 3 km/h fahren?

Diese EXE ermittelt nur den CPU Typ und ruft dann im Unterordner die hoch optimierte EXE für Deine CPU auf. Kaum ein anderes Programm nutzt alle Kerne und 512 Bit AVX-Befehle!!!

Man sieht sofort, dass hier nur Quadratzahlen vorkommen.

Jedoch nicht jeder Index n (da fehlen welche), sondern nur die mit n^2 =n²

(also die Argumente, wo die Quadratzahl auftaucht sind wieder Quadratzahlen)

Und nun ersetzen wir das "innere Argument n" durch n²: (n²)^2=n^4.

Für Schüler reicht dem Lehrer (also dem Aufgabensteller) dieses Bildungsgesetz:

f(n)=n^4

Zugabe nur für Interessierte, die nicht für den Lehrer lernen:

Für Mathematiker, die mehr Algorithmen kennen oder höhere Funktionen, gilt:

jede endliche Folge kann durch unendlich viele Bildungsgesetze nachgebildet werden.

Beispiel 2: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

Unter http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html einfach die Glieder kommagetrennt eingeben ergibt:

1+x*10-pow(x,2)*5+pow(x,3)*10 = x*(x*(10*x-5)+10)+1

also die Folge 1, 16, 81, 256, 601, 1176,...

die ab dem 5. Glied anders verläuft

Ich könnte jede Stunde einen weiteren Algorithmus ...

Mir geht's also genau anders herum: ich sehe oft zu viele Möglichkeiten und frage mich immer, wie der Aufgabensteller darauf kommt, dass er "nur seinen eigenen" als den richtigen ansieht, wo er doch keine Randbedingungen (Einschränkungen) angegeben hat.

Jangler13 hat völlig recht, denn hier geht es nicht um den "normalen", sondern um

https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus#Programmierung

also gcdExtendedIterative

Erst wenn man die vielen Hilfsvariablen tabellarisch anordnet, wird es logisch:

Das y ist also bei Wiki Variable v. a[i] ist ein Gemisch von Wiki's Variablen a und b.

Die ganze Beschreibung dazu kann man sich unter Wiki durchlesen.

Das Ergebnis findet man immer in der vorletzten Zeile in Variable b.

Viele denken bei Pi immer nur an den Kreis!

ABER das Besondere: egal welche Wissenschaft, egal welches Teilgebiet -> wenn man lange genug nach Zusammenhängen sucht (keine Wort-Laberei, sondern echte Gesetze, die sich in Formeln wandeln lassen), landet man fast immer bei Pi!

Unter https://www.lamprechts.de/gerd/Kreiszahl.htm

habe ich mal über 100 Algorithmen gesammelt, die alle als Ergebnis Pi haben.

Gemeinsamkeit: alle haben keine Abbruchbedingung, d.h. sie enden nie -> es kommen immer neue Nachkommastellen "hinten dran".

Beispiele:

1) sehr viele Flächen berechnet man universell mit Integralen -> bei der Integration vieler Funktionen kommen asin- oder acos- oder atan-Funktionen heraus, dessen Funktionsergebnis Vielfache von Pi sind

2) sehr viele konvergierende Summen haben einen Grenzwert-Vielfachen von Pi

2g) sehr viele Kettenbrüche...

3) sehr viele Produkte... -> darunter auch welche mit Primzahlen! d.h. man kann auch aus Primzahlen Pi berechnen!

4) Iterationen..

5) Berechnung/Beziehungen zu anderen höheren Funktionen

6) Grenzwerte von Funktion1/Funktion2 -> man kann damit Brüche bilden, die sich Pi immer weiter annähern, aber Pi erst im UNENDLICHEN (also nie) erreichen

... zig Zahlenfolgen im Zusammenhang mit Pi {Fibonacci-Zahlen ...}

Viele danken auch, dass die Nachkommastellen völlig zufällig sind -> Nein! Man kann etwa grob vorhersagen, bis zu welcher Nachkommastelle zu 100% alle n-stelligen "Muster" enthalten sind. Alle Algorithmen achten also z.B. streng darauf, dass bis zur Position 1816743912 alle 8stelligen "Muster" (also z.B. Geburtsdaten) zu 100% enthalten sind! Das könnte kein Zufallsgenerator!

Oder in der Mandelbrot-Menge (Fraktale)!

Bei Wechselstrom-Netzwerken...

Bei der Suche nach der https://de.wikipedia.org/wiki/Weltformel

ist Pi immer beteiligt, da diese Konstante überall auftaucht.

Für mich ist sie auch so interessant, weil dort schon 62 TB berechnet und online gestellt wurden. (wie bei keiner anderen) Mit BBP-Formeln lassen sich einzelne Hex-Stellen leicht zur Kontrolle nachrechnen.

Der größte "Ausreißer" ist 66666666666666666 siehe http://www.pi-e.de (da dieses "Muster" erst sehr viel später zu erwarten war)

Bitte immer eindeutige Trennzeichen: 1,8,1,4,7,0,7,0,... ! Da diese Aufgabe jedoch schon mehrfach im Internet abgeschrieben wurde, will der Aufgabensteller vermutlich nur die periodische Folge 7,-7,3,3,-7 rekursiv hinzugefügt haben (Differenz 2er Glieder). Periodische Folgen kann man per trigonometrischer Interpolation beschreiben { Sqrt[5] = "Wurzel von 5" }:

(2 Sqrt[5] + 18/5) Cos[4 Pi n/5] - (2 Sqrt[5] - 18/5) Cos[2 Pi n/5] - 1/5

In der Rekursion wird also diese Funktion pro Glied hinzugefügt:

a(n+1)=a(n)+(2 Sqrt[5] + 18/5) Cos[4 Pi n/5] - (2 Sqrt[5] - 18/5) Cos[2 Pi n/5] - 1/5 mit Startglied a(0)=1 ergibt Folge 1,8,1,4,7,0,7,0,3,6,...

Zugabe 1: solche Rekursionen kann man in explizite Formeln wandeln & dann zeichnen:

f(x)=(115-5*x-(Sqrt[10-2*Sqrt[5]]*(25+9*Sqrt[5]))*Sin[(2/5)*(1-2*x)*Pi]+(25-9*Sqrt[5])*Sqrt[2*(5 + Sqrt[5])] Sin[(Pi-2*(x*Pi))/5])/25

Der Aufgabensteller kennt sich jedoch schlecht in der Mathematik aus, denn ohne Randbedingungen gibt es für diese "endliche Zahlenfolge" UNENDLICH viele Algorithmen (Bildungsgesetze). Als ich mal Lust hatte, stellte ich über 130 Stück vor. Heute habe ich wenig Zeit, deshalb nur noch eine

Zweite gültige Lösung:

Polynominterpolation (lese Wiki)

f(x)=((x-7)*(x-5)*(12-x*(x*(x*(201+10*(x-9)*x)-3)-246)))/420 ergibt Folge

1,8,1,4,7,0,7,0,-427,...

Um zu zeigen, dass beide Lösungen exakt stimmen, hier die Zeichnung (Liniendiagramm die Schnittpunkte bei ganzzahligem n):

Es ist für einen Mathematiker kein Problem, jede Stunde einen weiteren Algorithmus vorzustellen, da die Mathematik GRENZENLOS ist (im Gegensatz zum Aufgabensteller, der nur seine EINZIGE Lösung kennt & denkt, dass alle anderen auch so denken wie er).

Lösung 3: Nachkommastelle in Pi:

Ab Position=25350023 Nachkommastellen=181470708123354851578...

Was man unter http://www.pi-e.de/ selbst suchen kann. Da ich 31 TB habe & alle 1 Mrd. Stellen mindestens 1 8stellige Folge auftaucht, könnte ich hier locker 31000 weitere Folgen vorstellen...:

Pos=1032651147, NK=18147070082489614885557..

Pos=2476714871, NK=1814707069554864766936...

...

Auch wenn die "Hilfreichste Antwort" bereits vergeben wurde, hier noch einige Fakten:

Vorsicht bei trigonometrischen Funktionen per GMP: oft wird nur bis 200000 Stellen richtig gerechnet -> deshalb ist Validierung mit anderen Algorithmen wichtig!

  Oft ist https://github.com/Mysticial/NumberFactory

 sehr viel schneller, weil FFT Multiplikation & Multithreading verwendet wird!

Wenn Du eine konkrete Formel hast, würde ich gern Geschwindigkeitsvergleiche (und letzte Stellen, weil meist falsch!) mit anderen Programmen machen, da es gerade bei Zahlen um 1 Mrd. Stellen große Unterschiede gibt: Bis Faktor weit über 50000

Für 3^x=pow(3,x) habe ich das mal verglichen: http://www.gerdlamprecht.de/Bilder/Vergleich3HochX_Mio.png

Das für c# mitgelieferte BigInteger.Pow ist da über 52000 mal langsamer!

Dann wird auch gern bei der Zeitmessung geschummelt: intern kann man hexadezimal schneller rechnen. Die Wandlung der Hex-Zahl in eine dezimale kann sogar langsamer sein (wird gern der Speicherzeit mit untergeschoben), als die eigentliche Berechnung.

Grüße

Hier noch mal der LINK für die, die das %20 vor http mit im LINK hatten und es nicht allein löschen konnten:

https://www.lamprechts.de/gerd/Algorithmen-zur-Zahlenfolge-10-15-9-31-74.htm

Und für alle LINK-Verweigerer: a[n]=3*a[n-3]-a[n-2]+a[n-1]+7

Und für alle Nicht-Formel-Versteher:

3*10-1*15+1*9+7 = 31

Dein ^^ mag zwar in einigen wenigen Sprachen bekannt sein ( 3^^3 = 3^3^3 ).

Ich kenne aber kein "Rechner", der diese Tetration https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

mit Syntax x^^y berechnen kann. (Nur Funktionsnamen)

So wie x^n die n malige Multiplikation von x ist, so ist

Tetration(x,n) die n malige Potenzierung von x.

Tetration(2,4)= 2^2^2^2 = 65536

In Mathematica schreibt man das

Nest[Power[2, #]&, 1,4] -> der 2. Parameter muss also immer GANZZAHLIG sein!

(im Gegensatz zum Potenzieren, denn da hat man die e-Funktion mit Hilfe der Reihenentwicklung auch für reelle Zahlen)

Beachte: Potenztürme ohne klammern bedeuten von hinten beginnen:

2^2^2^2=2^(2^(2^2))

Unter https://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

habe ich Tetration eingebaut:

Tetration (1.5,14) ergibt schon eine Zahl mit

264007110309346 Stellen!!!!

Potenzieren mit reellen Zahlen oder komplexen Zahlen mit:

x^y = Pow(x,y)= e^(ln(x)*y)= Exp[Log[x]*y]

Tetration(e,5)=10^(1.0125594950 e1656520)=10^(1.012559495*10^1656520)

Zahl mit 10^1656520 Stellen!!!

komplex:

Tetration[2.5+3.5i,4]=0.343785+0.0800288 i

Es gibt tatsächlich Näherungsformeln für reelle Zahlen des 2. Parameters, aber ohne Praxisbezug: https://en.wikipedia.org/wiki/Tetration#Higher_order_approximations_for_real_heights

Wenn Dich einzelne Funktionwerte oder Kurvenverläufe interessieren, frage nach.

Ich berechne gerade Tetration(e,e)...

Nach meiner Näherungsformel sollten alle 16stelligen Suchmuster spätestens an Stelle 361000000000000000 gefunden worden sein. Mehr unter

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

Die meisten kommen logischerweise etwas früher. Beispiel 17 mal die 6 habe ich schon gefunden (pi-e.de).

Diese Frage beantwortet folgende Seite:

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

also die Anzahl aller dezimalen Nachkommastellen einer mathematischen Konstante die benötigt werden, um alle n-stellige Zeichenketten (Zifferkombinationen) garantiert zu finden.

Dein xxx 321|123 xxx ist eine 12stellige Zahl und

A036903(12) liegt etwa bei 27500000000000 also 27,5 TB und ich habe über 31 TB

-> sollte also garantiert zu finden sein.

Es funktioniert immer nur mit Teil-Symmetrien!

Beispiel:

123321123321 an pos 125308006171

1 Nachkommastelle davor (also 14 Stellig) schon nicht mehr symmetrisch:

Pos=125308006170 NK=6123321123321220...

Oder Pos=72913995617, NK=877605039398765445678915799792606289... mit Teilsymmetrie 987654456789

Die Zahlenfolge A036903 geht gegen unendlich, genau wie die Anzahl der Nachkommastellen unendlich ist. UNENDLICH bedeutet "ohne Ende" -> eine Suche wie Deine nach "Endpunkten" gibt es also nicht, weil sie NIE endet!

Gerade in der Statistik will man ja Tendenzen erkennen und nimmt Regression:

a) lineare: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Einfachregression

b) nichtlineare: hier gibt es neben der exponentiellen noch unendlich viele andere Funktionen

Beim "Fit" werden meist nur wenige Punkte (meist 3) einbezogen und es wird einfach nur ein Teilstück "glatt" gezogen (wie Gummiband). Eine Tendenz (Vorhersage für die Zukunft) ist damit kaum möglich.

Unter http://www.gerdlamprecht.de/Integral_Substitutionen.html

§A2 findet man nicht nur ein interessantes Beispiel, sondern auch die exakte

Langschreibweise unter §A2d, die leider von vielen Lehrern nur in der abgekürzten Schreibweise angeboten wird.

Wie man das richtig anwendet:

http://www.gerdlamprecht.de/Bilder/partielleIntegration.png