komplexe zahlen gleichung hoch 5 lösen?
hey habe die aufgabe alle komplexen lösungen der gleichung : z^5+32=0 zu bestimmen jemand ne ahnung wie das geht?
2 Antworten
Du weißt (hoffentlich), dass es genau 5 komplexe Zahlen gibt, die die Gleichung x^5 = 1 lösen (du weißt hoffentlich auch, wie diese Zahlen lauten).
Sagen wir, x0, x1, ..., x4 sind diese 5 Einheitswurzeln.
Sei nun a eine komplexe Zahl mit a^5 = -32. Dann gilt:
(a * x0)^5 = a^5 * (x0)^5 = a^5 * 1 = a^5 = -32.
D.h. auch (a * x0) ist eine Lösung der Gleichung z^5 + 32 = 0.
Entsprechend sind auch a * x1, a * x2 usw Lösungen dieser Gleichung und sie sind alle voneinander verschieden.
Da deine Gleichung eine polynomielle Gleichung fünften Grades ist, kann es gar nicht mehr als 5 Lösungen geben, d.h. du hättest dann alle gefunden.
Letzten Endes brauchst du also nur eine Lösung für die Gleichung zu ermitteln und kannst daraus dann die anderen berechnen.
achso weil i ja -1 ist und 2^5 = 32 oder?
hmm ok wie sieht dass ganze dann in der praxis aus? :D also kannst du die lösung sagen dann versteh ich es bestimmt auch
aber zu dem dass es genau 5 komplexe zahlen gibt das wusste ich gar nicht wie kommt man darauf und wie die lauten?
Oh weh :/ dann lies dir mal besser schleunigst den Wikipediaartikel zu "Einheitswurzel" durch :D
hab ich aber versteh ich nicht so ganz :/ kannst du vllt den lösungsansatz schreiben dann würde ich das bestimmt verstehen :D
hab das video hier gefunden kann ich das so abschreiben? https://www.youtube.com/watch?v=I497wP4z1J4
z^5=-32 | Umkehrfunktion
z= (-32)^(1/5) aber mit 5 Winkeln deshalb besser
z= -(-1)^n*2*(-1)^(n/5)=-2*(-1)^(6*n/5) mit n=1...5
genaue Zahlenwerte der 5 Lösungen unter
http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
(dort mit Cardanischen Formeln)
2i ???