Gegen welchen Wert konvergiert der Potenzturm?
Also folgendes: Nehmen wir mal einen unendlichen Potenzturm der nur aus der Variabel x besteht. Also x^x^x^... Jetzt setzen wir diesen mit 2 gleich: x^x^x^... = 2 => x = sqrt(2)
Jetzt rechnen wir x^x^x^... = 4 aus. Ergebnis: x = sqrt(2)
Konvergiert der Turm nun gegen 2 oder gegen 4?
Was ist die eindeutige mathematische Lösung?
Danke schon mal für eure Antworten!!
JTR
5 Antworten
Stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch, wie löst man denn die Potenzturm-Gleichungen nach x?
Nach etwas Herumprobieren mit WolframAlpha scheint mir 2 die richtige Lösung zu sein, beweisen kann ich das aber logischerweise nicht.
für x> 1 konvergiert da gar nix, da geht das ins unendliche. ich hab keine ahnung, wie du auf sqrt(2) als läsung für x kommst
Es sind unendlich viele x weswegen du alle xe bis auf das unterste nehmen und durch zwei oder vier ersetzen kannst. Jetzt hast du x^2 = 2 oder x^4 = 4 In beiden Fällen kommt für x Wurzel(2) raus. Und du musst den Turm von rechts oben nach links unten abarbeiten.
achso sorry, habs als ((x^x)^x)^x.... gelesen, du meinst x^((x^x)^x) oder? dann ka
wie immer ist die unendlichkeit ein problem hinsichtlich potenztürmen.
grundsätzlich kannst du immer setzen:
sei x^x^x^...=A
dann ist
A=x^x^...=x^(x^....)=x^A
also x=Ate Wurzel von A
Tjaq, einziges Problem:
Dies setzt konvergenz von dem pitenzturm voraus.
Die du ja gerade zeigen wolltest indem du den grenzwert findest.
d.h.:konvergiert es, dann ist Ate Wurzel von A der Grenzwert.
Divergiertes, hast du gerade BS berechnet.
wenn es divergent ist, hättest du die Gleichsetzung mit einer kosntante A nicht mahcen dürfen.
Ergo, du hast was vorausgesetzt was du ja gerade beweisen willst.
Was dich dann ganz böse in den Hintern beißt :-)
Für Potenztürme gibt es viele Namen:
Tetration(x,y)=PowerTower(x,y)=hyper(x,4,y)
Alles dazu unter
http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
für e^(-e) < x < e^(1/e) gilt:
PowerTower(x, ∞ )=-LambertW(-ln(x))/ln(x)
mit x=sqrt(2) ergibt das 2
ab e^(1/e)=
1.4446678610097661336583391085964302230585954divergiert alles!
schon PowerTower(1.5,14)=
1.232289775945514454037535862398812338 e264007110309345
Zahl mit 264007110309346 Ziffern!
Bild2 zeigt die universelle Ergebnisfunktion
Zugabe: die Umkehrfunktion zur Ergebnisfunktion lautet für den angegebenen Definitionsbereich:
(1/x)^(-1/x)
Nun hast Du im 2. Teil Deiner Frage einfach den Definitionsbereich verlassen: 4 ist größer als e
eingesetzt -> und bekommst wieder sqrt(2)
-> genau solche Paradoxen entstehen, wenn man Definitionsbereiche weglässt.
Denn: alles größer e^(1/e) geht gegen UNENDLICH
und von UNENDLICH gibt es keine Umkehrfunktion!
Dein Turm mit x=√2 konvergiert gegen 2.
Herr Euler sagt, dass wenn x = a^(1/a), der Potenzturm gegen a konvergiert.
Allerdings muss 1/e ≤ a ≤ e sein.
Das ist für deinen zweiten Fall nicht gegeben.
(Wikipedia ist dein Freund 🙂)
Da es unendlichen viele x sind kannst du einfach alle xe bis auf das unterste nehmen und durch 2 oder vier ersetzen wodurch du x^2 = 2 oder x^4 = 4 erhältst. In beiden Fällen kommt für x Wurzel(2) raus...