Könnte man das so machen (Konvergenz)?
(Das sind Folgen reeller Zahlen). Ich hätte vielleicht den Einschließungssatz verwendet, und zwar gibt es ein c€R, sodass:
Dieses c ist also einfach eine Konstante. Wir wissen dass a_n gegen unendlich konvergiert, und wir wissen dass dass c gegen c (also eine Konstante) konvergiert, also konvergiert auch a_n + c gegen unendlich. Da b_n zwischen den beiden liegt, konvergiert nach dem Einschließungssatz auch b_n gegen unendlich. Das Problem ist nur, gibt es so ein c überhaupt?. Ich meine, wenn a_n einfach die Folge x wäre und b_n die Folge x², dann kann ich ein beliebiges c wählen, es gibt immer einen Punkt wo x² > x+c wird. Was könnte ich also stattdessen machen?
2 Antworten
Wofür der Aufwand? Nach Voraussetzung gibt es zu jeder reellen Zahl x eine natürliche Zahl N, sodass für alle n > N gilt: a_n > x.
Damit gilt aber für alle n > N: b_n ≥ a_n > x.
Insbesondere divergiert b_n bestimmt gegen unendlich.
Bestimmte Divergenz ist gewissermaßen einfacher als Konvergenz, weil die Folge ohnehin nicht gegen etwas größeres als unendlich "konvergieren" kann. Daher ist das Sandwich-Kriterium hier ein overkill ;)
Vom Gefühl her würde ich mit
an ≤ bn = an+cn, cn ≥ 0
anfangen. Also nicht ein konstantes c sondern zu jedem a und b ein eigenes.
Durch an ≤ bn gilt cn ≥ 0
Dann hast du: lim( bn ) = lim( an ) + lim( cn ) = ∞ + ?, vorbei ? ≥ 0 ist
Hier sehr lasch ausgedrück. Hoffe, dass du versteht, wo ich hinaus möchte.
Setze: cn = bn - an. Da an ≤ bn ist cn ≥ 0
Der Grenzwert von cn kann auch 0 sein, beispeilsweise wenn an = bn ist.
Wichtig ist nur das Vorzeichen, nicht dass du ∞ +(-∞) bekommst. Aber -∞ geht nicht, weil cn ≥ 0.
Aah ja ich versteh was du meinst. Aber kann ich dieses c_n einfach so herzaubern? Ich meine, der Grenzwert von c_n muss dann ja auch unendlich sein, weil a_n + c_n ja immer größer sein muss als b_n wenn wir das einschliessen wollen (also ich wähle das c_n dann so das an ≤ bn ≤ an+cn gilt) Und dafür muss ich wieder zeigen dass es ein c_n gibt was das kann. Und dann bin ich ja wieder im Prinzip ganz am Anfang oder nicht?