Was ist der Grenzwert von n-te sqrt(n^7+1)?
n te wurzel allein von n ist ja 1 für n gegen unendlich. Muss man das hier irgendwie abschätzen
3 Antworten
„sqrt“ steht für „square root“, also Quadratwurzel. Ich glaube aber nicht, dass du hier eine Quadratwurzel meinst. Vermutlich meinst du einfach die n-te Wurzel aus (n^7 + 1), also...
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Muss man das hier irgendwie abschätzen
Ja, so würde ich hier vorgehen. Schätze die Folge nach unten und nach oben jeweils durch eine geeignete Folge ab und nutze dann den Einschnürungssatz.
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Einerseits ist für alle n ∈ ℕ...
... mit...
Andererseits ist für alle n ∈ ℕ...
... mit...
Die Folge wird also beidseitig von Folgen begrenzt, die jeweils gegen 1 konvergieren, weshalb die Folge gegen 1 konvergiert.
Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Einschnürungssatz
Ergebnis:
Hallo,
sollte 1 sein.
Die 1 unter der Wurzel kannst Du ignorieren. Ob Du eine Wurzel aus einer sehr sehr hohen Zahl ziehst oder aus einer sehr sehr hohen Zahl plus 1, macht so gut wie keinen Unterschied.
Dann kannst Du den Term zu n^(7/n) umschreiben. In diesem Fall gewinnt der Exponent, der gegen Null geht.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn eine hohe Zahl plus 1 mit einem Exponenten >1 potenziert wird, hat das natürlich auch ganz andere Auswirkungen, als wenn man die Wurzel aus einer sehr hohen Zahl plus 1 zieht. Daß man eine solche 1 auf keinen Fall immer vernachlässigen darf, ist mir durchaus bewußt. Im vorliegenden Fall aber paßt es.
Wenn Du den Grenzwert von n^(7/n) etwas fundierter ermitteln willst als die Aussage, daß 7/n gewinnt, schreibst Du den Term zu e^((7/n)*ln (n)) um und ziehst den Limes in den Exponenten.
Nach de l'Hospital kannst Du anstelle des Grenzwertes von 7*ln(n)/n den Grenzwert ermitteln, den die Ableitungen von 7*ln(n) und n ergeben.
Grenzwert von 7*(1/n)/1=7/n aber geht für n gegen unendlich gegen 0 und e^0=1.
Sorry, Mist gebaut, das ganz nochmal ...
Ok, die Formel war schonmal richtig.
Jetzt mal ganz einfach, je größer n, desto weiger hat das +1 noch einen Einfluss. Schon bei n=3 sieht man das deutlich. Ob man die 3. Wurzel aus 2187 oder 2188 zieht, macht kaum noch einen Unterschied, also lassen wir das +1 mal weg, dan bleibt übrig:
n^(7/n)
7/n geht gegen 0 für n gegen unendlich
n^0 = 1
Da mußt Du aufpassen. Zwar geht 7/n gegen 0, aber gleichzeitig geht der Faktor n gegen unendlich. Das 7/n hat also einen mächtigen Gegenspieler. Die Frage ist, wer das Tauziehen am Ende gewinnt. Hier ist es 7/n, das muß aber nachgewiesen werden.
Ja stimmt. Um den Beweis zu führen, müsste ich jetzt erstmal lange überlegen, mein Abi ist 33 Jahre her.
Siehe Antwort von mihisu oder den Kommentar zu meiner Antwort, bei der ich allerdings stillschweigend vorausgesetzt habe, daß die +1 unter der Wurzel zu vernachlässigen ist, was auch nicht ganz hasenrein ist. Den Rest habe ich dann über das Umschreiben des Terms und die Regel von de l'Hospital bewiesen.
Die sauberste Lösung ist aber sicher die von mihisu. Ist halt ein Profi.
Mein Abi ist über 40 Jahre her und ich habe Theologie studiert, was nicht wirklich mathelastig ist.
Als Theologe kann man sich wenigstens noch statistisch damit beschäftigen, wie wahrscheinlich das Eintreten von vorhergesagten Ereignissen (aus der Bibel) ist.
Naja. Das Amen in der Kirche hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Alles andere würde den Sinn der Kirche auch gewaltig infrage stellen.
Dass man die 1 unter der Wurzel hier im Vergleich zu n⁷ vernachlässigen kann, ist zwar schön, und kann einem helfen zum richtigen Ergebnis zu gelangen.
Allerdings möchte ich doch darauf hinweisen, dass man sich das nicht immer so machen darf.
Beispiel:
((n+1)/n)ⁿ
Hier könnte man auch auf die Idee kommen für große Zahlen n bei n + 1 die 1 zu vernachlässigen, was dann zu (n/n)ⁿ = 1ⁿ = 1 führen würde, weshalb man vermuten könnte, die Folge ((n+1)/n)ⁿ würde gegen 1 konvergieren. Dies ist jedoch nicht der Fall. Denn tatsächlich konvergiert ((n+1)/n)ⁿ gegen die eulersche Zahl e.
Wie ich anhand dieses Beispiels zeigen wollte, würde ich mich hier auf das grobe Argument, man könne die 1 hier vernachlässigen, nicht unbedingt verlassen, sondern das durch eine richtige Rechnung bestätigen. (Im konkreten Fall kommt man aber mit dem „1 vernachlässigbar“-Argument tatsächlich zum richtigen Ergebnis.)