Ganzrationale Gleichung 3.Grades mit vier Punkten bestimmen.
Weiß zufällig jemand wie man Ganzrationále Gleichungen 3.Grades bestimmt: Folgende Punkte sind gegeben (-1|0) (0|0) (1|0) (2|3) das wäre die erste Augabe die zweite wäre mit den Punkten (-1|0) (2|0) (3|0) (-2|5) ebenfalls 3.Grades
Danke schon im vorraus :)
5 Antworten
Das ist alles ganz richtig hier, jedoch unter dem Aspekt, dass die Punkte P(x | y) heißen, schreibe ich immer
x³ a + x² b + x c + d = y
weil ja a, b, c und d die Unbekannten sind, die es heraus zu rechnen gilt. Das ist leichter einzusetzen. Es ergibt dann bei vier Punkten vier Gleichungen. Jetzt muss man allerdings das Additionsverfahren beherrschen, um die Koeffizienten heraus zu bekommen. Die Gleichung schreibt man dann in der herkömmlichen Reihenfolge auf, vielleicht noch f(x) statt y.
Und Voraus groß und mit einem r.
Du hast Glück denn das haben wir auch grad in Mathe ;-) Also als erstes schaust du immer auf den Grad, in dem Fall der dritte also: f(x)= a * x³ + b * x² + c * x + d nun hast du 4 unbekannte Variablen (a,b,c,d) dafür musst du Bedingungen Aufstellen die für alle Variablen gelten. In dem Fall sind es 4 -> da 4 Variablen zu lösen sind
für a: hast du Punkt f(-1)=0 -> f(x)= -ax^3-bx^2-cx-d für b: f(0)=0 -> f(x)= d für c. f(1)=0 -> f(x)= ax^3+bx^2+cx+d für d: f(2)=3 ->f(x) 2ax^3+2bx^2+2cx+2d
nun löst du alle Gleichungen miteinander nach a,b,c und d mit deinem Taschenrechner.
weißt du wie das geht ?
solve( f(-1) and f(0) and.....usw. , {a,b,c,d})
hoffe ich konnte dir helfen !
Gruß
Franjo97
Der Fachbegriff nennt sich Interpolationspolynom.
Sonderfall 4 Stützstellen (Punkte-Folge) ergibt Gleichung 3. Grades:
f(x)= a * x³ + b * x² + c * x + d
mit den gegebenen Punkten x[0]...x[3] und y[0]...y[3] ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen .
Unter http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html
geht das ganz leicht: erst die 4 y-Werte oben eingeben: 0,0,0,3
dann bei x[i] um den ersten Wert erweitern (normalerweise beginnen Folgen bei 0): -1,0,1,2,3,4,...
fertig: +0-x * 1/2+pow(x,2) * 0 + pow(x,3) * 1/2 = x³/2 - x/2
Ganz unten kann man durch Einsetzen der x-Werte das Polynom testen.
Ich gehe (wie die anderen Antwortenden) davon aus, dass du eine ganzrationale Funktion dritter Ordnung ( = dritten Grades) bestimmen sollst. Ich kenne keine Definition einer ganzrationalen Gleichung.
Das geht auch ohne Taschenrechner. Bei systematischem Vorgehen kommt heraus, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
A. Da hast drei Nullstellen bei x = -1; 2; 3, also hat die gesuchte Funktion die Form:
y = a(x+1)(x-2)(x-3)(x -x0),
wobei a der Leitkoffizient und x0 die unbekannte vierte Nullstelle ist.
Für die zweite Aufgabe ergibt Einsetzen der Koordinaten des vierten Punktes.
5 = a(-1)(-4)(-5)(-2 -x0); |alle Vorzeichen wechseln; | :5
1 = 4a(2 + x0); | : 4a ≠ 0 (w) ; | -2
x0 = 1/(4a) -2
Die ganzrationale Funktion ist **nicht eindeutig bestimmt **, die Lösungsmenge enhtält eine ganze Funktionsschar (es gibt unendlich viele Elemente).
Z.B. ist Für a = 1/4 ist x0 = -1, also ist
y = (1/4) (x+1)² (x-2)(x-3)
eine Lösung,
mit a = 1/2 und x0 = -3/2) ist aber auch:
y = (1/2) (x+1) (x-2)(x-3) (x + 3/2)
eine Lösung.
Die Lösungsmenge kann geschrieben werden:
L = { y = a(x+1)(x-2)(x-3)(x -1/(4a) +2) }, wobei a ≠ 0
B. Die Funktionsvorschrif für die erste Aufgabe eher noch leichter hinzuschreiben. Auch dort ist die Lösung eine ganze Funkionsschar.
Man muss sich die Grundform einer Polynomfunktion 3. Grades vorstellen. Diese kennst du bestimmt. Sie lautet:
f(x)= a * x³ + b * x² + c * x + d
Alle Bedingungen eingesetzt ergibt ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten und sollte im Allgemeinen lösbar sein.