Bestimme die Gleichung der ganzrationalen Funktion f dritten Grades welche Im Ursprung Punkt P (2/4) jeweils ein Extremum besitzt?

Ich komme nicht weit. Ich wäre Ihnen dankbar für die Hilfe. Ich schreibe morgen eine Klausur. Danke im Vorraus

Answer 1

[mihisu]

Ansatz für eine ganzrationale Funktion f dritten Grades...

$f(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d$

$f'(x)=3\cdot a\cdot x^2+2\cdot b\cdot x+c$

Nun soll sich im Ursprung ein Extremum befinden. Demnach muss die Funktion insbesondere durch den Punkt (0|0) verlaufen...

$[1] :\quad f(0)=0$

... und als notwendige Bedingung für die Extremstelle an dieser Stelle (bei x = 0), muss die Ableitung dort gleich 0 sein...

$[2] :\quad f'(0)=0$

Auch P(2|4) soll ein Extrempunkt sein. Demnach muss die Funktion insbesondere durch den Punkt P(2|4) verlaufen...

$[3]:\quad f(2)=4$

... und als notwendige Bedingung für die Extremstelle an dieser Stelle (bei x = 2), muss die Ableitung dort gleich 0 sein...

$[4]:\quad f'(4)=0$

Die Gleichungen [1], [2], [3], [4] liefern mit dem Ansatz für die ganzrationale Funktion dritten Grades ein lineares Gleichungssystem bzgl. den Unbekannten a, b, c, d. Löse dieses Gleichungsssyetem.

Setzte dann die berechneten Koeffizienten a, b, c, d in den Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d ein, um die gesuchte Funktionsgleichung zu erhalten.

====== Ergänzung: Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Comments

[ahmad259]

Ist die Funktion dementsprechend f(x)= -x3+3x2 ich hoffe es ist richtig

[Halbrecht]

@ahmad259

man kann es selbst prüfen P(2/4)

-(2)³ + 3*(2)² muss also +4 sein
-8 + 3*4 = +4 stimmt schon mal

(0/0) eh

leite ab und prüfe ob f'(x) = -3x² + 6x die Nullstellen 0 und 2 hat

[mihisu]

@ahmad259

Ja, das passt.