f(x)=5 Extremstellen?
Guten Mittag,
ich frage mich ob die Funktion f(x)=5 Extremstellen besitzt. Stehe irgendwie auf dem Schlauch...
die Funktion ist ja linear, parallel zur x-Achse als einfach durch y=5 einen waagerechten Strich. Hierbei sind für alle x-Werte alle y-Werte gleich..
Also gibt es eigentlich keine Extremstellen oder? Oder sind unendliche Tief/Hochpunkte vorhanden? Es gibt ja keinen Punkt der am höchsten oder am tiefsten ist..
lg
4 Antworten
Ich gehe stark davon aus, dass die Funktion keine Extremstellen besitzt.
Denn eine Extremstelle zeichnet sich sowieso dadurch aus, dass irgendwas an ihr eben extrem ist. Nicht nur extrem, sondern eben am extremsten. Daher auch der Name.
Ein Wendepunkt hat die extremste Steigung in seinem näheren Umfeld.
Ein Hochpunkt ist in seiner näheren Umgebung der höchste Punkt.
Ein Tiefpunkt in seiner näheren Umgebung der tiefste Punkt.
Das ganze ist hier definitiv nicht erfüllt, weil es sich eben um eine lineare Funktion handelt und diese nicht einmal eine Steigung besitzt.
Auch Wikipedia bestätigt das noch einmal:
"Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt."
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert
Mathematisch kann man das zumindest zu einem gewissen Punkt auch bestätigen.
Wenn wir die Extrempunkte berechnen, leiten wir die Funktion je nach Verfahren 1 oder 2 mal ab. Deutlich schneller geht es über die 2. Ableitung ohne das Vorzeichenwechsel-Kriterium:
f(x) = 5
f'(x) = 0
f''(x) = 0
usw..
Als nächstes müsstest du die 1. Ableitung gleich null setzten, und hier hört es schon auf.
Notwendige Bedingung:
f'(x) = 0
0 = 0
Weiter geht es nicht. Du hast zwar eine wahre Aussage, dass 0 eben 0 ist, aber mehr auch nicht. Du hast ja nicht einmal eine Variable, nach der man auflösen kann.
Spätestens hier ist klar, dass die Funktion keine Extrem- oder Wendepunkte besitzten kann.
Die einzige ausnahme wären absolute Extrempunkte. Da wir aber hier nicht einmal eine Steigung haben, fällt auch das weg.
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Liebe Grüße
TechnikSpezi
Vielleicht ist es eine Meinungssache, aber ich würde eher sagen, dass es dadurch unendlich viele Extremstellen gibt, weil halt jede Stelle gleichzeitig das Maximum und das Minimum der Funktion ist.
Also nach meinem mathematischen Verständnis ist ein Maximum ein Punkt, dessen Funktionswert entweder für alle x oder für einen bestimmten Bereich von x-Werten (je nach Vereinbarung) größer ist als alle anderen (in diesem Bereich) vorkommenden Funktionswerte. Da ist Gleichheit ausgeschlossen.
Demzufolge gibt es keinen Funktionswert f(x), der größer ist als die anderen, sondern nur Werte, die gleich sind.
Damit ist aber die Eigenschaft "Maximum" widerlegt
Ich muss dir leider sagen, dass du deine eigenen Aussagen nicht richtig deutest.
Ich nehm mir einfach mal den Punkt P(0;5).
Dein erster Satz: Ein Extrempunkt zeichnet sich dadurch aus, dass in seinem näheren Umfeld kein "extemerer" Wert erreicht wird.
ist erfüllt. Es gibt keinen Punkt mit einem größeren x.
Dein zweiter Satz:
Sprich, ein Hochpunkt ist der höchste Punkt im Graphen in seinem näheren Umfeld.
ist genauso erfüllt. Jeder Punkt ist der höchste Punkt, weil es eben keinen höheren Punkt gibt.
Das Beispiel aus Wikipedia: Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.
ist auch erfüllt. Es werden nirgendwo größere Werte angenommen. Das gilt aber für alle x.
Anders wäre es, wenn die Bedingung wäre, dass das lokale Maximum höher liegen muss, als alle anderen Punkte in der Umgebung oder wenn man als Bedingung anführt "Die erste Ableitung der Funktion muss gleich 0 sein und die zweite Ableitung muss ungleich 0 sein"
@TechnikSpezi
Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.
Egal welche Stelle x Du nimmst, gibt es doch in der Umgebung keine größeren Funktionswerte, also hast Du laut dieser Definition überall ein lokales Maximum! :)
ok Danke TechnikSpezi und daCypher! ich habe das jetzt nach langem überlegen auch so verstanden, weil im Buch eine Aufgabe war, wo ich begründen soll, ob der Graph einer konstanten Funktion unendlich viele Tiefpunkte besitzt... im Lösungsheft steht, dass dies richtig ist..
@Rhenane Ich verstehe was du meinst, es ist ja auch nur ein Satz von Wikipedia und nicht alles. Ich glaube ich brauche jetzt nicht großartig weiter begründen. In meiner eigentlichen Antwort steht das sowieso alles noch deutlich ausführlicher drin.
Ich habe mit diesem Satz nur die Aussage widerlegt.
Du brauchst doch die Funktion bloß mal nach x ableiten, dann hast du schon f´(x) = 0 . Und ob du jetzt noch eine zweite oder dritte Ableitung machst únd untersuchst - es werden keine Extrema dabei herauskommen.
f(x)=konstant=5 hat keine Extrenstelle .Ist nur eine Gerade,die parallel zur x-Achse verläuft.
Das ist falsch!
Ein Extrempunkt zeichnet sich dadurch aus, dass in seinem näheren Umfeld kein "extemerer" Wert erreicht wird.
Sprich, ein Hochpunkt ist der höchste Punkt im Graphen in seinem näheren Umfeld.
So sagt es auch Wikipedia:
"Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt."
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert
Merkst du denke ich selbst, dass deine Aussage keinen sinn macht, weil die Punkte alle genau auf der selben "Höhe" liegen und sie somit alle den Funktionswert y = 5 haben.