Wie stellt man eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades auf?
Hochpunkt (0/0), Extremstelle bei x = 3, Wendepunkt (1/11)
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/8_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Eine Steckbriefaufgabe führt immer zu einen "linearen Gleichungssystem" (LGS),was dann gelöst werden muß
Wendepunkt bedeutet,es muß mindestens eine ganzrationale Funktion 3.ten Grades sein
- f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao mit P(0/0) also x=0 ist ao=0
- f´(x)=0=3*a3*x^2+2*a2*x+a1 Extrema bei P(0/0) und x=3
Dies führt bei Gleichung 2. zu einen Widerspruch
0=3*a3*0^2+2*a2*0+a1 also muß a1=0 sein aber außerdem soll sein
0=3*a3*3^2+2*a2*3+a1 hier soll also a1 ungleich Null sein !! beides geht aber nicht
Somit ist die Aufgabe nicht lösbar
genau so mit einer Funktion 4.ten Grades
- f(x)=a4*x^4+a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao auch hier ao=0
- f´(x)=0=4*a4*x^3+3*a3*x^3+2*a2*x+a1
auch hier das selbe Problem mit x=0 muß a1=0 sein
und mit x=3 soll a1 ungleich Null sein
geht also nicht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Peter42/1444747899_nmmslarge.jpg?v=1444747899000)
Ganzrationale Funktion möglichst niedriger Ordnung? -
Kann eine Funktion der Ordnung 1, also f(x) = ax + b einen Wendepunkt haben? - nö, also fällt die schon mal raus.
Kann eine Funktion der Ordnung 2, also f(x) = ax^2 + bx + c einen Wendepunkt haben? - nö, also fällt die ebenfalls raus.
Kann eine Funktion der Ordnung 3, also f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d einen Wendepunkt haben? - ja, also kommt die in Frage. Sonstige Angaben berücksichtigen gibt dann schwuppsdiwupps die fehlenden unbekannten Größen a, b, c und d.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Vierten Grades ginge doch.
Bei diesen Angaben aber kommst Du auf f(x)=x^4-8x^3+18x^2 und das hat bei (0|0) keinen Hoch-, sondern einen Tiefpunkt.
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Hallo,
bist Du sicher, daß Du nirgends ein Vorzeichen übersehen hast?
Herzliche Grüße,
Willy
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Ja, die Aufgabe ist so gestellt, wie oben beschrieben...
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Dann reichen die Angaben nicht.
Es gibt nur eine Funktion 4. Grades, die die Bedingungen erfüllt, bei der bei (0|0) aber kein Hochpunkt, sondern ein Tiefpunkt vorliegt, nämlich
f(x)=x^4-8x^3+18x^2
Für eine Funktion höheren Grades reichen die Angaben nicht aus.
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Da aber sonst alles paßt, schätze ich, daß bei der Aufgabenstellung einfach Hoch- und Tiefpunkt verwechselt wurde.
Dritten Grades geht nicht, weil der Wendepunkt dann genau zwischen den beiden Extrempunkten liegen müßte, also bei x=1,5.
Du brauchst mindestens eine Funktion 4. Grades.
Das klappt aber auch nicht,
Wenn bei (0|0) ein Hochpunkt und bei (1|11) ein Wendepunkt sein soll, brauchst Du zwischen beiden noch ein Minimum. Zusammen mit dem Extremwert bei x=3 sind das vier Extremwerte, also eine Funktion 5. Grades.
Dafür aber reichen die Angaben nicht aus.