Es ist immer wieder erstaunlich, was in den Köpfen von Aufgabenstellern vor sich geht, so auch hier. Schon der erste Satz "Der Benzinverbrauch und die benötigte Zeit ändern sich mit der Anzahl der gefahrenen Kilometer" wirft ohne nähere Angaben Fragen auf.

Ist mit "Benzinverbrauch" der Durchschnittswert pro 100km gemeint oder der absolute Verbrauch? In beiden Fällen hängt der Benzinverbrauch nicht zwingend von der Anzahl der gefahrenen Kilometer ab. Verbraucht man z.B. für 100 km 7 Liter Benzin, kann man bei bei entsprechend schneller Fahrweise auch für die Hälfte der Strecke die gleiche Menge an Benzin verbrauchen.

Auch die benötige Zeit ändert sich nicht zwingend mit der Anzahl der gefahrenen Kilometer. Eine Strecke von 50 Kilometern benötigt bei einer Geschwindigkeit von 50km/h eine Stunde. Die doppelte Strecke benötigt bei doppelter Geschwindigkeit ebenfalls eine Stunde.

Die nächste Verwirrung folgt auf dem Fuß. „Am Anfang der Fahrt werden 3 Liter verbraucht, dann jede Woche ½ Liter mehr“. Wie ist das zu verstehen? Wird die zurück gelegte Strecke jede Woche länger, oder drückt der Fahrer jede Woche einfach nur stärker aufs Gaspedal?

Aufgrund der Angaben im Text lässt sich der Benzinverbrauch in Abhängigkeit der Anzahl an Wochen angeben:

Fahrt 1: Benzinverbrauch(w) = 3 + 1/2*t, w in Wochen

Fahrt 2: Benzinverbrauch(w) = 2.5 + 4/5*w, w in Wochen

Wie bereits erwähnt, was ist mit Benzinverbrauch gemeint? Der Durchschnitt pro 100 km oder der absolute Verbrauch? Wie nun die Abhängigkeit des Benzinverbrauchs mit den gefahrenen Kilometer in Verbindung gebracht werden soll, ist aufgrund der obigen Ungereimtheiten auch mir unklar.

Falls jemand meint, das sei doch klar, der Aufgabensteller hätte sicherlich dies oder das gemeint. Dann soll der Aufgabensteller das doch bitte auch klar formulieren.

Im Fall der Standardabweichung gilt

P( µ - σ < X < µ + σ ) = 2*34.1 = 68.2%

Sollen die beiden Schranken ganzzahlig bestimmt werden, muss man µ - σ ganzzahlig aufrunden, und µ + σ ganzzahlig abrunden. Ansonsten würde man das Integrationsintervall auf beiden Seiten überschreiten.

15 - 3.7 = 11.3 --> 12

15 + 3.7 = 18.7 --> 18

Die Funktion f(x) = cosh(x) bildet wie exp(x) eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung:



Aus



und



folgt die gesuchte Gleichung.

Die einzelnen Terme der Reihe kann man auch so schreiben:



Damit entspricht die Reihe der geometrischen Reihe



mit q = 1/sqrt(2). Der Grenzwert ergibt sich somit zu 2 + sqrt(2).

Grundsätzlich kann man davon ausgehen, dass unterschiedliche Interessengruppen gegensätzliche Nullhypothesen aufstellen. Es ist völlig richtig: Hersteller und Großkunde würden konträr zur Aufgabenstellung testen. Aber warum nicht. Die Sinnhaftigkeit des Vorgehens steht erst mal nicht zur Debatte.

Hersteller:

H0:p=0.9 gegen H1:p<0.9. Wegen p1 < p0 folgt ein linksseitiger Test.

BNP(X <= k) < 0.05 gilt für k <= 84

Sind weniger als 85 Kugelschreiber funktionsfähig, wird H1 angenommen.

Großkunde:

H0:p=0.9 gegen H1:p>0.9. Wegen p1 > p0 folgt ein rechtsseitiger Test.

BNP(X >= k) < 0.05 gilt für k >= 96

Sind mehr 95 Kugelschreiber funktionsfähig, wird H1 angenommen.

Außerdem würde es ja auch noch schließlich heißen, dass der Großkunde eine Lieferung mit 0 Kugelschreibern, die in Ordnung sind, annimmt.

Das ist so nicht richtig. Der Großkunde möchte testen, ob p > 0.9 gilt. Befindet sich kein funktionsfähiger Kugelschreiber in der Stichprobe, kann H1 nicht angenommen werden. Das wiederum impliziert, dass die Nullhypothese weiterhin gilt. Mehr Schlüsse lassen sich daraus nicht ziehen. Dazu muss erst eine neue Hypothese aufgestellt werden (z.B. die des Herstellers).

Die Lösung ist richtig, lässt sich aber auch einfach berechnen:

A(x) = 16*(cos(x) + sin(x)*cos(x))

A'(x) = 16*(cos²(x) - sin²(x) - sin(x))

A' wird Null für:

cos²(x) - sin²(x) - sin(x) = 0

Auf beiden Seiten 2*sin²(x) addieren:

cos²(x) + sin²(x) - sin(x) = 2*sin²(x)

Wegen cos²(x) + sin²(x) = 1:

1 - sin(x) = 2*sin²(x)

Das ist eine quadratische Gleichung der Form:

2*x² + x - 1 = 0

Mit der Lösung:

x1 = -1, x2 = 1/2

-1 liegt nicht im Definitionsbereich, deshalb verbleibt sin(x) = 1/2 mit x = 30°

N1x1 ist die Nullstelle von f(x):

4x - 9 = 0 --> x = 9/4

N2x2 ist die Nullstelle von g(x):

-4x + 23 = 0 --> x = 23/4

Schnittpunkt S der beiden Graphen:

4x - 9 = -4x + 23

8x = 32 --> Sx = 4, Sy = f(4) = 7

Länge der Basis ist der Abstand der beiden Punkte N1 und N2 = 23/4 - 9/4 = 14/4

Bei drei Münzwürfen gibt es 8 Möglichkeiten.

3x Kopf: 1 Möglichkeit mit p1 = 1/8 

2x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p2 = 3/8

1x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p3 = 3/8

0x Kopf: 1 Möglichkeit mit p4 = 1/8

Sei X die Anzahl von Kopf bei 3 Würfen:

E(X) = µ = 3*p1 + 2*p2 + 1*p3 + 0*p4 = 1.5

Var(X) = (3-µ)²*p1 + (2-µ)²*p2 + (1-µ)²*p3 + (0-µ)²*p4 = 0.75

Standardabweichung = sqrt(0.75) 

Vermutung für n Würfe :

E(X)= n/2

Var(X) = n/4

Bei der Anwendung des Logarithmus für die Lösung von Exponentialgleichungen spielt die Basis des Logarithmus i.A. kein Rolle.





Im Fall der Gleichung:



hilft der Logarithmus jedoch nicht weiter:



Eine Lösung findet man nur mithilfe der Lambertschen W-Funktion f(x) = x*e^x

Ein Ellipsoid sieht aus wie der Rand eines Eis. Die Ebene 3x-y = 0 schneidet den Rand schräg. Die Schnittmenge ist die Ellipse 2x² + z²/4 = 1.

Die Aufgabe löst man mit dem Lagrange-Verfahren:

Nebenbedingung 1: x² + y²/9 + z²/4 - 1 = 0

Nebenbedingung 2: 3x-y = 0

Lagrangefunktion:

L = x²*y²*z² + s*(x² + y²/9 + z²/4 - 1) + t*(3x-y)

partielle Ableitungen:

L/dx = 2x(s+y²z²) + 3t

L/dy = 2/9*y(s+9x²z²)-t

L/dz = 1/2*z(s+4x²y²)

L/ds = z²/4 + y²/9 + x² - 1

L/dt = 3x-y

Setzt man alle Ableitungen 0, entsteht ein GLS, das man nach x,y,z auflösen kann.

Lösung Maximum: x = +- 1/sqrt(3), y = +- sqrt(3), z = +- 2/sqrt(3)

Wobei die Vorzeichen von x und y gleich gewählt werden müssen. Das führt zu vier Extrempunkten.

Lösung Minimum: x = y = 0, z = +- 2

Weil mich die Frage interessiert, habe ich ein Programm geschrieben, welche alle Fälle analysiert. Die Software kommt auf 1092 Möglichkeiten. Vorausgesetzt, dass immer alle vier grüne, blaue, rote Perlen verwendet werden müssen.

Für jede erste Farbe kommt man somit auf 1092/3 = 364 Möglichkeiten.

Nach jeder Farbe gibt es nur zwei Möglichkeiten der Fortsetzung. Kombinatorik ist trotzdem schwierig, weil je nach vorheriger Farbwahl die Perlen entsprechender Farbe für den Rest der Kette fehlen.

Eine Formel habe ich bisher nicht gefunden. Zumindestens kann man das Ergebnis 1092 zur Überprüfung einer Formel verwenden.

b)

Allgemeine Parabel mit Scheitel (Sx,Sy) = (4, 5.84):

f(x) = a*(x - Sx)² + Sy

f(x) = a*(x - 4)² + 5.84

Ausserdem gilt:

f(0) = 2

a*(-4)² + 5.84 = 2

daraus folgt a = -6/25

f(x) = -6/25*(x - 4)² + 5.84 = -6/25*x² + 48/25*x + 2

c)

f(8) = -6/25*8² + 48/25*8 + 2 = 2 [m]

d)

f(x) = 0 ?

-6/25*x² + 48/25*x + 2 = 0 -->

-6*x² + 48*x + 50 = 0 -->

x² - 8*x - 50/6 = 0

Lösungen der quadratischen Gleichung mit pq-Formel:

x1 = 4 - sqrt(73/3), x2 = 4 + sqrt(73/3) ≈ 8.93 m

x1 entfällt, weil negativ

a)

H0: p = 0.04, H1: p > 0.04

rechtsseitiger Test, gesucht wird ein möglichst kleines k mit:

p(X >= k) <= 0.05

Angenommen die Lösung lautet k=8

H0 wird angenommen: k € {0,1,..7}  

H0 wird abgelehnt: k € {8,9,...,100}

H0 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% abgelehnt, obwohl richtig. (Fehler 1.Art). Das gilt aber nur unter der Voraussetzung, dass H0 wahr ist.

e)

Vermutlich will der Fragesteller auf den Fehler der 2. Art hinaus ("Alternativtest"). In diesem Fall wird H1 als richtig angenommen mit H1: p = 0.08

Angenommen, man belässt den Annahme- und Ablehnungsbereich, dann sieht die Sache wie folgt aus (alles mit BNP(100, 0.04) und BNP(100, 0.08) gerechnet).

Es geht um den Fall unten rechts, d.h. man lehnt die Lieferung ab und trifft die richtige Entscheidung (unter der Annahme H1 sei wahr). Diese Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 55%. Um die geforderten 30% zu erreichen, muss man den Ablehnungbereich verkleinern, z.B. auf {10,11,..100}. Die passende Grenze ist zu berechnen.

f)

Im Fall einer Änderung des Annahme- und Ablehnungsbereichs ändert sich der Fehler der 1. Art. Das ist dann die neue Irrtumswahrscheinlichkeit. Diese wird zwar kleiner, dafür aber der Fehler der 2. Art grösser.

6x * e^(3x+2) - 2 * e^(3x+2) =

(6x - 2) * e^(3x+2) =

f(x)*g(x)

mit

f(x) = 6x - 2

g(x) = e^(3x+2)

f'(x) = 6

g'(x) = 3*e^(3x+2)

f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x) = 18*x*e^(3x+2)

z³ = 1/8

z kann man auch so schreiben: |z| * e^(i*φ)

(|z| * e^(i*φ))³ = 1/8

|z|³ * (e^(i*φ))³ = 1/8

Daraus folgt

|z| = 1/2 und (e^(i*φ))³ = 1

Lösung:

φ*3 = 2*π*k für k=0,1,... --> φ = 2/3*π*k

φ1 = 0 für k = 0

φ2 = 2/3*π für k = 1

φ3 = 4/3*π für k = 2

φ4 = 6/3*π für k = 3

Die erste und die letzte Lösung fallen zusammen (und weitere sind periodisch), deshalb gibt es drei Lösungen

z = 1/2 * (cos(0) + i*sin(0))

z = 1/2 * (cos(2/3*π) + i*sin(2/3*π))

z = 1/2 * (cos(4/3*π) + i*sin(4/3*π))

e^(i*φ) = cos(φ) + i*sin(φ)

φ = π/6 = 30°

Der Realteil lautet cos(π/6) = sqrt(3)/2

Der Imaginärteil lautet sin(π/6) = 0.5

Das war mal eine Verarscher-Frage bei 9Live:

39 + 1 + 1 + 1 = 42 (mit der Behauptung 3 und 9 seien "Zahlen")

oder

39 + 1 + 1 + 1/1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)

oder

39 + 1 + 1 + 1*1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)

Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass aus 30 genau zwei, aber beliebige Zwiebeln nicht aufgehen. Und weitere zwei (am Anfang oder am Ende der Kette) ebenfalls nicht aufgehen. Es ginge dann um insgesamt 32 Zwiebeln.

Es sollen aber aus 30 Zwiebeln nur solche gezählt werden, die direkt nebeneinander liegen. Die Anzahl der möglichen Ereignisse sind dann nicht (30 über 2), sondern nur 29 Paare.

Was die Frage nach Bernoulli angeht, halte ich das Verständnis für Mathematik für wichtiger als die Anwendung von Formeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 Zwiebeln die ersten beiden in der Pflanzreihe nicht aufgehen, beträgt (hier p = 0.15)

P1 = p^2 * (1-p)^28

Die Wahrscheinlichkeit P1 gilt aber genauso für den Fall, dass die beiden Zwiebeln am Ende der Reihe stehen oder exakt auf Reihe Nummer 5 und 21.

Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass zwei beliebige Zwiebeln nicht aufgehen, dann gibt es (30 über 2) = 435 Fälle. Anders ausgedrückt kann man die zwei Zwiebeln in 435 Permutationen in der Pflanzreihe verteilen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann

P2 = (30 über 2) * P1 = 435 * P1

Streng genommen steht P1 in Summe 435 mal.

Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zwiebeln paarweise nicht aufgehen, dann gibt es nur noch 29 Fälle. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann

P3 = 29 * P1

Streng genommen steht P1 in Summe 29 mal.

Beispiel:

Beim Würfeln gilt Ω = {1,2,3,4,5,6}. Angenommen es soll eine gerade Augenzahl fallen, dann ist A = {2,4,6}

|Ω| oder |A| meint die Mächtigkeit dieser Mengen. Die Mächtigkeit entspricht der Anzahl der Elemente in der Menge.

Die Schreibweise p = |A| / |Ω| oder p = 3/6 ist also gleichbedeutend. Gewöhnlich wählt man die letztere, weil jeder weiß, was gemeint ist.

u = (x,y,z)

v = (s*x, s*y, s*z)

u*v = s*x²+s*y²+s*z² = s(x²+y²+z²)

|u| = sqrt(x²+y²+z²)

|v| = sqrt(s²x²+s²y²+s²z²) = s*sqrt(x²+y²+z²)

|u|*|v| = sqrt(x²+y²+z²) * s*sqrt(x²+y²+z²) = s(x²+y²+z²)