Bei der Definition der Beta-Funktion hat sich dort ganz am Anfang ein Schreibfehler eingeschlichen, der Integrand lautet natürlich:
Im folgenden eine alternative Darstellung, eventuell wird das klarer:
Für x,y > 0 spaltet man das Integral wie folgt auf:
Die beiden Integrale der Summe werden im folgenden Integral 1 und 2 genannt.
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{x,y} ≥ 1 :
Bei den Integranden handelt es sich um eine beschränkte Funktion mit dem Maximum 1, den 0 <= t <= 1 und 0 <= (1-t) <= 1 und damit existiert das Integral.
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0 < {x,y} < 1 :
- Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:
Das Maximum der Basis ist 2 und der Exponent (1-y) > 0. Deshalb liegt das Maximum dieses Terms bei 2 und kann als Faktor vor das Intervall gezogen werden. Somit reduziert sich das Integral 1 wie folgt:
- Integral 2, d.h. t € [1/2, 1]
Hier gilt die gleiche Abschätzung wie eim Integral 1. reduziert sich das Integral 1 wie folgt:
Weil die beiden uneigentlichen Integrale
für 0 < {x,y} < 1 konvergieren, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch die Beta-Funktion für {x,y} > 0.
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x < 0 :
Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:
Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 0, und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 1.
y < 0 :
Integral 2, d.h. t € [1/2 , 1]:
Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 1 und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 2.