Den Wert p = f(x) einer Dichtefunktion f als Wahrscheinlichkeit von x zu betrachten, ist nur bei diskreten Verteilungen möglich. Bei einer stetigen Dichtefunktion kann z.B. auch f(x) > 1 für einzelne x gelten. Das widerspricht nicht der Bedingung



Zum Verständnis: die Körpergrösse eines Menschen ist normalverteilt. Man kann z.B. berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Grösse von 180 cm auftritt (auf ein Zentimeter genau), oder auf 1 Millimeter oder 1 Micrometer genau. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Körpergrösse exakt bei 180 + π liegt, ist jedoch Null. Es läuft also immer darauf hinaus, die Dichtefunktion über ein Intervall zu integrieren.

Wenn es außerirdischen Lebewesen gelingt, die riesigen Distanzen zur Erde zu überbrücken, warum sollten sie dann in der Wüste einen riesigen Steinhaufen errichten?

Auch die Theorie, Pyramiden hätten als eine Art Kommunikations- oder Navigationssystem gedient, macht keinen Sinn. Stattdessen hätten die Außerirdischen einen künstlichen Satelliten in die Erdumlaufbahn bringen können. Das macht rein physikalisch mehr Sinn und wäre weniger aufwändig gewesen.

"Könnte man das Integral von f(t) von 0 bis 4 dafür aufstellen"

Genau das wird im Video gemacht. Die Stammfunktion F(t) wird aufgestellt und F(4) - F(0) berechnet. Weil F(0) = 0 gilt, fällt F(0) im Video unter den Tisch, und es bleibt nur noch F(4) übrig. Zugeben hätte der Autor das wenigstens erwähnen können.

Um eine Augensumme von 11 zu erreichen, muss man mit den ersten und letzten beiden Würfeln auf folgende Augensumme kommen:

2 + 9

3 + 8

4 + 7

5 + 6

Für die Augensumme 2-9 mit zwei Würfeln gibt es folgende Möglichkeiten:

Augensumme | Möglichkeiten
     2     |      1
     3     |      2
     4     |      3
     5     |      4
     6     |      5
     7     |      6
     8     |      5
     9     |      4

Daraus folgt für die Paarkombinationen

Kombination | Möglichkeiten
   2 + 9    |    1*4
   3 + 8    |    2*5
   4 + 7    |    3*6
   5 + 6    |    4*5

Macht in Summe 52 Möglichkeiten. Weil die obigen Paare jeweils noch vertauscht werden können, gibt es insgesamt 104 Möglichkeiten.

Im Fall eines Graphen f, der eine antiproportionale Zuordnung darstellt, gilt

x*f(x) = konstant.

Das ist bei a) nicht der Fall.

Bei b) muss man etwas genauer hinsehen, aber da gilt z.B.

1*f(1)= 1 * 4 = 4

2*f(2) = 2 * 3 = 6

ist also nicht konstant.

9a) sich widersprechende Gleichungen

x + y + z = 5

2x + 2y + 2z = 5

3x + 3y + 3z = 5

9b) linear abhängige Gleichungen

x + y + z = 5

2x + 2y + 2z = 10

3x + 3y + 3z = 15

9c) ein Beispiel von vielen (durch Probieren)

x + y + z = 5

2x + y - z = 4

3x + y - 2z = 5

10a) sich widersprechende Gleichungen (hier nur die letzten beiden)

2x + 3y - 4z = 2

5x + 2y - z = 1

10x + 4y - 2z = 1

10b) linear abhängige Gleichungen (hier nur die letzten beiden)

2x + 3y - 4z = 2

5x + 2y - z = 1

10x + 4y - 2z = 2

10c)

Die dritte Gleichung darf nicht linear abhängig von den ersten beiden sein, z.B.

2x + 3y - 4z = 2

5x + 2y - z = 1

x + y + z = 1

Lösung x = -1/6, y = 1, z = 1/6

Normalerweise bestimmt man den Winkel alpha zwischen zwei Ebenen E1 und E2 über das Skalarprodukt und die Norm der zugehörigen Normalenvektoren n1 und n2 (die jeweils senkrecht auf der Ebene stehen). Es gilt:

cos(alpha) = |n1 * n2|/|n1|*|n2|

Ein Alternative ergibt sich z.B. aufgrund der Giebelform, die sich seitlich als Dreieck darstellt. Sind ausreichend Maße dieses Dreiecks gegeben, lässt sich der Winkel zwischen den Dachflächen dann auch einfacher über sin(), cos() oder tan() berechnen. Das hängt von der Aufgabenstellung ab.

b)

Ich gehe von H=(0,0,3) aus (schwer lesbar)

G-H = (0,6,3), F-H = (6,0,3)

Das Kreuzprodukt dieser Vektoren (18,18,-36) steht senkrecht auf der Ebene und lässt sich zu (1,1,-2) kürzen. Die Ebenengleichung lautet somit:

x + y - 2z = d

Den Punkt H in die Ebenengleichung einsetzen:

0 + 0 - 2*3 = d

Daraus folgt d = -6

E: x + y - 2z = -6

c)

Die Gerade BS: g(t) = S - t*(B-S) in die Ebenengleichung einsetzen. Das ergibt den Punkt I = (9/2, 9/2, 15/2)

d)

F-G = (6,-6,0)

H-I = (-9/2, -9/2, -9/2)

Das Skalarprodukt ist Null, deshalb stehen die beiden Vektren aufeinander senkrecht

Schnittpunkt FG und HI : (3,3,6)

Flächeninhalt GHFI ist die Hälfte von der Norm des Kreuzpodukts:

(6,-6,0)x(-9/2, -9/2, -9/2) = (27,27,-54)

1/2 * |(27,27,-54)| ~ 33.07

e)

Abstand S von FG ~ 7.35

f)

Mittelpunkt der Grundfläche M = (A+B+C+D)/4 = (6,6,0)

Gerade g(t) = (6,6,0) + t(0,0,1)

Alle Punkte auf g haben zu den Eckpunkten der Grundfläche denselben Abstand.

Somit muss nur gelten:

Abstand g(t) zu D = g(t) zu S

Quadratischer Abstand g(t) zu D: (6-0)² + (6-0)² + (t-0)²

Quadratischer Abstand g(t) zu S: (6-0)² + (6-0)² + (t-12)²

Abstände gleichsetzen, Lösung t = 6

Gesuchter Punkt g(6) = (6,6,6)

1)

Wenn die Punkte A,B,C,D auf einer Ebene liegen, dann muss die Gleichung

A + s*(B-A) + t*(C-A) = D ein Lösung haben.

(0,0,0) + s*(15,21,3) + t*(37,5,5) = (22,-16,2)

Die erste Zeile s*15 + t*37 = 22 ist für s = -1 und t = +1 erfüllt, die restlichen ebenso. Also liegen alle Punkte auf einer Ebene.

Das Kreuzprodukt von (B-A) und (C-A) ist der Normalenvektor der gesuchten Ebene E. Das lautet (90,36,-702) und kann auf (5,2,-39) gekürzt werden. Die Ebenengleichung hat somit die Form E: 5x + 2y -39z = d. Setzt man den Punkt A ein, ergibt sich d = 0

E: 5x + 2y -39z = 0

2)

Die Vektoren an den vier Kanten lauten:

k1 = (B-A) = (15,21,3)

k2 = (C-B) = (22,-16,2)

k3 = (D-C) = (-15,-21,-3)

k4 = (A-D) = (-22,16,-2)

Weil das Skalarprodukt k1*k2 Null ergibt, stehen k1 und k2 aufeinander senkrecht. Die restlichen Kanten verlaufen jeweils parallel und bilden deshalb ein Rechteck.

Das Baumdiagramm sieht so aus:

                    |-- 3/4 --> (2.grün)
-- 1/3 --> (1.grün) |
                    |-- 1/4 --> (2.rot)

                    |-- 3/4 --> (2.grün)
-- 2/3 --> (1.rot)  |
                    |-- 1/4 --> (2.rot)

Aus dem Baumdiagramm ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

p(grün,grün) = 1/3*3/4 = 3/12

p(grün,rot) = 1/3*1/4 = 1/12

p(rot,grün) = 2/3*3/4 = 6/12

p(rot,rot) = 2/3*1/4 = 2/12

Zur Kontrolle: die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben. Das ist der Fall.

Ergebnis:

p(Gewinn) = p(grün,grün) + p(rot,rot) = 3/12 + 2/12 = 5/12

Aufgabe b)

Die Gerade g2 durch BM lautet:

g2(r) = (5,3,3) + r*(2,-4,-1)

Die Kugelgleichung lautet:

(x-7)² + (y+1)² + (z-2=)² = 21

Geradengleichung in die Kugelgleichung einsetzen:

((5+2r)-7)² + ((3-4r)+1)² + ((3-r)-2)² = 21

Lösung r1 = 0, r2 = 2

g2(0) = B (wie zu erwarten)

g2(2) = (9,-5,1) (Schnittpunkt)

e)

Die Punkte FGHK liegen auf der Ebene E: x + 2y + 2z = 34

Gerade PQ: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1)

Die Aufgabe ist unklar formuliert, denn hängt der obere Punkt, der Mittelpunkt oder der untere Punkt der Kugel drei Meter tiefer? Ich gehe mal davon aus, dass der Mittelpunkt 6 Meter tiefer hängt als das Seil. Der Mittelpunkt der Kugel läuft dann entlang der Geraden

h(s) = g(s) - (0,0,6)

Jetzt sucht man einen Punkt auf der Geraden h, der zur Ebene E den Abstand 3 hat.

d(A,E) = |1*Ax + 2*Ay + 2*Az - 34|/sqrt(1² + 2² + 2²)

Punkte aus h(s) einsetzen und d(A,E) = 3:

|1*(5+s) + 2*(-5-3s) + 2*(16.5+s) - 34|/3 = 3

Lösung s = -5 und A = h(-5) = (0,10,11.5)

Jetzt noch den Lotfußpunkt von A auf der Ebene E bestimmen:

S = (-1, 8, 9.5)

Jetzt muss man noch zeigen, dass S innerhalb der Dachfläche FGHK liegt. Dazu bildet man die

Gerade KS: m(t) = (-2,6,12) + t*(-3, -6, 7.5)

und die Gerade FG: k(r) = F + r*(G-F) = (8,6,7) + r*(-10,5,0)

Schnittpunkt von m und k berechnen:

-2 -3t = 8 -10r

6 - 6t = 6 + 5r

12 + 7.5t = 7

Lösung r = 0.8, t = -2/3, Schnittpunkt B = (0,10,7)

Wegen k(0) = F und k(1) = G, liegt der Schnittpunkt B = k(0.8) zwischen F und G. Damit ist bewiesen, dass S innerhalb des Trapezes liegt.

f)

Die Gerade g(s) lautet mit einem um a versetztem Q

g(s) = (5,-5,22.5) + s*(7,-21,7+a)

In der Aufgabe e) lag der unterste Punkt der Kugel bei -9 Meter relativ zu g.

Zusätzlich sollen 1.5 Meter Abstand bleiben und das Seil wurde um 1.5 gekürzt.

Der unterste Punkt der Kugel zusätzlich diesem Abstand läuft dann entlang der Geraden

h(s) = g(s) - (0,0,9)

Die Gerade durch HK lautet

k(t) = (4,3,12) + t*(-2,1,0)

Den Schnittpunkt von h(s) und k(t) berechnen:

5+7s = 4 -2*t

-5-21s = 3+t

22.5+(7+a)s - 9 = 12

Lösung: a = -7/2 s = -3/7 t = 1

Aufgrund g(-1) = Q gilt nun mit a = -7/2

g(-1) = (5,-5,22.5) + (-1)*(7,-21,7-7/2) = (-2, 16, 19). Der Mast muss um 3.5 Meter erhöht werden.

c)

Das Dach besteht aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken.

Die Fläche eines Dreiecks ergibt sich mithilfe des Kreuzprodukts:

|(H-F)x(H-E)|/2 = |(40, -20, 20)|/2 = 10*sqrt(6) m²

Die Fläche eines Trapezes ergibt sich mithilfe des Kreuzprodukts:

|(F-H)x(F-G)|/2 + |(K-H)x(K-G)|/2 = |(-25, -50, -50)|/2 + |(15, 30, 30)|/2 =

(75+45)/2 = 60 m²

Auch hier ist die Aufgabe schwammig formuliert. Die hintere Ecke des Hauses ist nicht angegeben. Man kann deshalb nur vermuten, dass die im Schaubild nicht sichtbaren Dachflächen identisch zu den vorderen sind. Die Gesamtfläche ist dann 2*60 + 20*sqrt(6) ~ 168.99 m²

d)

Seilbahn auf den Boden projizieren:

g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5) + s*(1, -3)

First auf den Boden projizieren:

h(t) = H + t*(H-K) = (4, 3) + t*(6,-3)

Schnittpunkt R von g und h berechnen:

Lösung s = -3, t = -1/3, R = (2,4)

Es gilt: h(-1) = K und h(0) = H

Wegen -1 < t < 0 liegt h(-1/3) = R zwischen den Punkten K und H. Somit ist bewiesen, dass die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft.

###

Seilbahn: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1)

Lösung s von oben einsetzen: g(-3) = (2,4,19.5)

First: h(t) = H + t*(H-K) = (4, 3, 12) + t*(6,-3,0)

Lösung t von oben einsetzen: h(-1/3) = (2,4,12)

Somit beträgt der Abstand zwischen Seilbahn und First über dem Lotpunkt (2,4,0) 7.5 Meter.

### Alternative Lösung:

Man legt duch die Punkte H und K eine Ebene, die auf dem Boden senkrecht steht. Diese lautet E: x + 2y - 10 = 0

Gerade PQ: g(s) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1) in die Ebene E einsetzen:

(5+s) + 2(-5-3s) - 10 = 0

Lösung s = -3, g(-3) = S = (2, 4, 19.5)

S ist der Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden PQ.

Weil sich der First auf der Höhe 12 befindet, beträgt der (senkrecht gemessene) Abstand von S zum First 19.5 - 12 = 7.5 Meter.

Der Höhenunterschied sagt noch nichts darüber aus, ob die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft, denn die Seilbahn könnte theoretisch auch 1 km entfernt liegen, das würde am errechneten Höhenunterschied nichts ändern. Man muss noch zeigen, dass die Koordinate (2,4,12) zwischen den beiden Punkten H und K liegt (siehe oben).

1)

Für einen Extrempunkt an der Stelle x0 gilt die notwendige Bedingung f'(x0) = 0.

Hat das Polynom den Grad n, hat die Ableitung den Grad n-1. Ein Polynom vom Grad n kann deshalb maximal n-1 Extrempunkte haben (Nullstellen der ersten Ableitung).

Für einen Wendepunkt an der Stelle x0 gilt die notwendige Bedingung f''(x0) = 0.

Hat das Polynom den Grad n, hat die zweite Ableitung den Grad n-2. Ein Polynom vom Grad n kann deshalb maximal n-2 Wendepunkte haben (Nullstellen der zweiten Ableitung).

2)

Eine numerische Wertetabelle für den linksseitigen als auch rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle f(x0) ist kein Beweis für die Differenzierbarkeit einer Funktion. Dieser Beweis muss analytisch geführt werden.

3)

Ob ein Polynom verschoben ist, hängt einfach davon ab, ob und wie das originale Polynom definiert ist. Hat die höchste Potenz keinen Koeffizienten, sagt das nichts über eine mögliche Verschiebung aus. Beispiel :

f(x) = x³ + 9x² - 8x + 10

f(x-1) = (x-1)³ + 9(x-1)² - 8(x-1) + 10 = x³ + 6x² - 23x + 26

Die höchste Potenz hat in beiden Fällen den Koeffizienten 1.

Der Normalenvektor der Ebene lautet (4,4,-7). Ein dazu senkrechter Vektor z.B.

m = (1,-1,0)

Jetzt setzt man die Norm von m auf 3:

m = (3/sqrt(2), -3/sqrt(2), 0)

und addiert m auf F:

D = F + m ~ (4.12, -0.12, -3.5)

Der Abstand FD ist dann identisch zu FP. Es gibt unendlich viele Punkte D, da diese auf einem Kreis mit Radius 3 um F liegen (und auf der Ebene E).

Es ist übersichtlicher die Gleichungen in Form eines Gleichungssystems aufzuschreiben. Die Gleichung IV ist bereits mit 2 gekürzt:

 1 -1  1 -1 1 | 0
16  8  4  2 1 | 6.75
32 12  4  1 0 | 0
24  6  1  0 0 | 0
-4  3 -2  1 0 | 0

II = II - I:

 1 -1  1 -1 1 | 0
15  9  3  3 0 | 6.75
32 12  4  1 0 | 0
24  6  1  0 0 | 0
-4  3 -2  1 0 | 0

II = II - 3 * V:

 1 -1  1 -1 1 | 0
27  0  9  0 0 | 6.75
32 12  4  1 0 | 0
24  6  1  0 0 | 0
-4  3 -2  1 0 | 0

III = III - V :

 1 -1  1 -1 1 | 0
27  0  9  0 0 | 6.75
36  9  6  0 0 | 0
24  6  1  0 0 | 0
-4  3 -2  1 0 | 0

II = II - 9 * IV:

III = III - 6 * IV:

   1  -1  1 -1 1 | 0
-189 -54  0  0 0 | 6.75
-108 -27  0  0 0 | 0
  24   6  1  0 0 | 0
  -4   3 -2  1 0 | 0

II = II - 2* III

   1  -1  1 -1 1 | 0
  27   0  0  0 0 | 6.75
-108 -27  0  0 0 | 0
  24   6  1  0 0 | 0
  -4   3 -2  1 0 | 0

Jetzt folgt aus II: a4 = 1/4

Dann aus III: a3 = -1

Dann aus IV: a2 = 0

Dann aus V: a1 = 4

Dann aus I: a0 = 11/4

Man trägt im Koordinatensystem eine Linie mit einem Winkel von a = 60° auf (siehe gestrichelte Linie). Das entspricht dem Winkel der Sonneneinstrahlung.

Auf der Höhe y = 301 ergibt sich dann der Schnittpunkt S. Dieser entspricht der Turmspitze.

Der Punkt A liegt auf dem Lot von S zum Boden.

Für den Abstand OA (Schattenlänge) gilt: OA*tan(60°) = 301

Daraus folgt: OA = 301/sqrt(3) ~ 173.78 m

Es gilt folgendes Additionstheorem :

(a) cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Wegen sin²(x) = 1 - cos²(x) folgt:

(a) cos(2x) = cos²(x) - (1- cos²(x))

(a) cos(2x) = 2*cos²(x) - 1

(a) 2*cos²(x) = cos(2x) + 1

Weiter gilt folgende Beziehung:

(b) sec(x) = 1/cos(x)

Daraus folgt:

(b) sec²(x) = 1/cos²(x)

(b) 1/2 * sec²(x) = 1/(2*cos²(x))

(a) in (b) einsetzen:

1/2 * sec²(x) = 1/(cos(2x) + 1))

Mit der Substitution x -> x/2 folgt was zu beweisen war.

2c)

Die Funktion v ist eine lineare Funktion mit negativer Steigung:

aus x ---> +∞ folgt v(x) ---> -∞

aus x ---> -∞ folgt v(x) ---> +∞

Die Funktion u ist eine nach oben geöffnete Parabel:

aus x ---> +∞ folgt u(x) ---> +∞

aus x ---> -∞ folgt u(x) ---> +∞

###

f(x) = u( v(x) )

Der Grenzwert -∞ als auch der Grenzwert +∞ von v(x) wird durch die nachgeschaltete Funktion u(x) in +∞ umgewandelt. Daraus folgt:

aus x ---> +∞ folgt f(x) ---> +∞

aus x ---> -∞ folgt f(x) ---> +∞

###

g(x) = v( u(x) )

Der Grenzwert +∞ von u(x) wird durch die nachgeschaltete Funktion v(x) in -∞ verwandelt. Daraus folgt:

aus x ---> +∞ folgt g(x) ---> -∞

aus x ---> -∞ folgt g(x) ---> -∞

Bei einem Bernoulli Experiment gibt genau zwei mögliche Ereignisse.

Ob man beim Würfeln eine 6 würfelt oder nicht, ist das auch ein Bernoulli Experiment. Es gibt beim Würfeln zwar 6 Ergebnisse, aber man betrachtet nur die Ereignisse „6“ oder „keine 6“.

Das Ergebnis eines Fussballspiels hat dagegen drei mögliche Ereignisse. Betrachtet man jedoch nur die Ereignisse "Mannschaft A gewinnt" oder "Mannschaft A gewinnt nicht, einschließlich unentschieden", dann wäre das ein Bernoulli Experiment.

4.1.

Üblicherweise wird bei einem Zeit-Weg-Diagramm auf der x-Achse die Zeit (hier Minuten) und auf der y-Achse der Weg (hier Kilometer) aufgetragen.

Der Lastwagen befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ort s = 0 (München) und erreicht nach 50 Minuten den Ort s = 80 (Augsburg).

Der PKW befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ort s = 80 (Augsburg) und erreicht nach 30 Minuten den Ort s = 0 (München).

Die beiden Fahrzeuge begegnen sich bei t = 18.75 Minuten bzw. bei s = 30 km

4.2

Lastwagen: sL(t) = 80/50*t

PKW: sP(t) = 80 - 80/30*t

t in Minuten

4.3

Lastwagen: 80 km in 50 Minuten. Das ergibt eine Geschwindigkeit vom 80*60/50 = 96 km/h = 96/3.6 m/s

In 20 Sekunden 96/3.6*20 ~ 533.3 Meter

4.4

PKW: 80 km in 30 Minuten. Das ergibt eine Geschwindigkeitvom 80*60/30 = 160 km/h = 160/3.6 m/s

Ansatz 150 = 160/3.6*t

t ~ 3.373 Sekunden