N1x1 ist die Nullstelle von f(x):
4x - 9 = 0 --> x = 9/4
N2x2 ist die Nullstelle von g(x):
-4x + 23 = 0 --> x = 23/4
Schnittpunkt S der beiden Graphen:
4x - 9 = -4x + 23
8x = 32 --> Sx = 4, Sy = f(4) = 7
Länge der Basis ist der Abstand der beiden Punkte N1 und N2 = 23/4 - 9/4 = 14/4
Bei drei Münzwürfen gibt es 8 Möglichkeiten.
3x Kopf: 1 Möglichkeit mit p1 = 1/8
2x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p2 = 3/8
1x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p3 = 3/8
0x Kopf: 1 Möglichkeit mit p4 = 1/8
Sei X die Anzahl von Kopf bei 3 Würfen:
E(X) = µ = 3*p1 + 2*p2 + 1*p3 + 0*p4 = 1.5
Var(X) = (3-µ)²*p1 + (2-µ)²*p2 + (1-µ)²*p3 + (0-µ)²*p4 = 0.75
Standardabweichung = sqrt(0.75)
Vermutung für n Würfe :
E(X)= n/2
Var(X) = n/4
Bei der Anwendung des Logarithmus für die Lösung von Exponentialgleichungen spielt die Basis des Logarithmus i.A. kein Rolle.
Im Fall der Gleichung:
hilft der Logarithmus jedoch nicht weiter:
Eine Lösung findet man nur mithilfe der Lambertschen W-Funktion f(x) = x*e^x
Ein Ellipsoid sieht aus wie der Rand eines Eis. Die Ebene 3x-y = 0 schneidet den Rand schräg. Die Schnittmenge ist die Ellipse 2x² + z²/4 = 1.
Die Aufgabe löst man mit dem Lagrange-Verfahren:
Nebenbedingung 1: x² + y²/9 + z²/4 - 1 = 0
Nebenbedingung 2: 3x-y = 0
Lagrangefunktion:
L = x²*y²*z² + s*(x² + y²/9 + z²/4 - 1) + t*(3x-y)
partielle Ableitungen:
L/dx = 2x(s+y²z²) + 3t
L/dy = 2/9*y(s+9x²z²)-t
L/dz = 1/2*z(s+4x²y²)
L/ds = z²/4 + y²/9 + x² - 1
L/dt = 3x-y
Setzt man alle Ableitungen 0, entsteht ein GLS, das man nach x,y,z auflösen kann.
Lösung Maximum: x = +- 1/sqrt(3), y = +- sqrt(3), z = +- 2/sqrt(3)
Wobei die Vorzeichen von x und y gleich gewählt werden müssen. Das führt zu vier Extrempunkten.
Lösung Minimum: x = y = 0, z = +- 2
Weil mich die Frage interessiert, habe ich ein Programm geschrieben, welche alle Fälle analysiert. Die Software kommt auf 1092 Möglichkeiten. Vorausgesetzt, dass immer alle vier grüne, blaue, rote Perlen verwendet werden müssen.
Für jede erste Farbe kommt man somit auf 1092/3 = 364 Möglichkeiten.
Nach jeder Farbe gibt es nur zwei Möglichkeiten der Fortsetzung. Kombinatorik ist trotzdem schwierig, weil je nach vorheriger Farbwahl die Perlen entsprechender Farbe für den Rest der Kette fehlen.
Eine Formel habe ich bisher nicht gefunden. Zumindestens kann man das Ergebnis 1092 zur Überprüfung einer Formel verwenden.
b)
Allgemeine Parabel mit Scheitel (Sx,Sy) = (4, 5.84):
f(x) = a*(x - Sx)² + Sy
f(x) = a*(x - 4)² + 5.84
Ausserdem gilt:
f(0) = 2
a*(-4)² + 5.84 = 2
daraus folgt a = -6/25
f(x) = -6/25*(x - 4)² + 5.84 = -6/25*x² + 48/25*x + 2
c)
f(8) = -6/25*8² + 48/25*8 + 2 = 2 [m]
d)
f(x) = 0 ?
-6/25*x² + 48/25*x + 2 = 0 -->
-6*x² + 48*x + 50 = 0 -->
x² - 8*x - 50/6 = 0
Lösungen der quadratischen Gleichung mit pq-Formel:
x1 = 4 - sqrt(73/3), x2 = 4 + sqrt(73/3) ≈ 8.93 m
x1 entfällt, weil negativ
a)
H0: p = 0.04, H1: p > 0.04
rechtsseitiger Test, gesucht wird ein möglichst kleines k mit:
p(X >= k) <= 0.05
Angenommen die Lösung lautet k=8
H0 wird angenommen: k € {0,1,..7}
H0 wird abgelehnt: k € {8,9,...,100}
H0 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% abgelehnt, obwohl richtig. (Fehler 1.Art). Das gilt aber nur unter der Voraussetzung, dass H0 wahr ist.
e)
Vermutlich will der Fragesteller auf den Fehler der 2. Art hinaus ("Alternativtest"). In diesem Fall wird H1 als richtig angenommen mit H1: p = 0.08
Angenommen, man belässt den Annahme- und Ablehnungsbereich, dann sieht die Sache wie folgt aus (alles mit BNP(100, 0.04) und BNP(100, 0.08) gerechnet).
Es geht um den Fall unten rechts, d.h. man lehnt die Lieferung ab und trifft die richtige Entscheidung (unter der Annahme H1 sei wahr). Diese Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 55%. Um die geforderten 30% zu erreichen, muss man den Ablehnungbereich verkleinern, z.B. auf {10,11,..100}. Die passende Grenze ist zu berechnen.
f)
Im Fall einer Änderung des Annahme- und Ablehnungsbereichs ändert sich der Fehler der 1. Art. Das ist dann die neue Irrtumswahrscheinlichkeit. Diese wird zwar kleiner, dafür aber der Fehler der 2. Art grösser.
6x * e^(3x+2) - 2 * e^(3x+2) =
(6x - 2) * e^(3x+2) =
f(x)*g(x)
mit
f(x) = 6x - 2
g(x) = e^(3x+2)
f'(x) = 6
g'(x) = 3*e^(3x+2)
f(x) * g'(x) + f'(x) * g(x) = 18*x*e^(3x+2)
z³ = 1/8
z kann man auch so schreiben: |z| * e^(i*φ)
(|z| * e^(i*φ))³ = 1/8
|z|³ * (e^(i*φ))³ = 1/8
Daraus folgt
|z| = 1/2 und (e^(i*φ))³ = 1
Lösung:
φ*3 = 2*π*k für k=0,1,... --> φ = 2/3*π*k
φ1 = 0 für k = 0
φ2 = 2/3*π für k = 1
φ3 = 4/3*π für k = 2
φ4 = 6/3*π für k = 3
Die erste und die letzte Lösung fallen zusammen (und weitere sind periodisch), deshalb gibt es drei Lösungen
z = 1/2 * (cos(0) + i*sin(0))
z = 1/2 * (cos(2/3*π) + i*sin(2/3*π))
z = 1/2 * (cos(4/3*π) + i*sin(4/3*π))
e^(i*φ) = cos(φ) + i*sin(φ)
φ = π/6 = 30°
Der Realteil lautet cos(π/6) = sqrt(3)/2
Der Imaginärteil lautet sin(π/6) = 0.5
Das war mal eine Verarscher-Frage bei 9Live:
39 + 1 + 1 + 1 = 42 (mit der Behauptung 3 und 9 seien "Zahlen")
oder
39 + 1 + 1 + 1/1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)
oder
39 + 1 + 1 + 1*1 = 42 (das sind wirklich 5 Zahlen)
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, dass aus 30 genau zwei, aber beliebige Zwiebeln nicht aufgehen. Und weitere zwei (am Anfang oder am Ende der Kette) ebenfalls nicht aufgehen. Es ginge dann um insgesamt 32 Zwiebeln.
Es sollen aber aus 30 Zwiebeln nur solche gezählt werden, die direkt nebeneinander liegen. Die Anzahl der möglichen Ereignisse sind dann nicht (30 über 2), sondern nur 29 Paare.
Was die Frage nach Bernoulli angeht, halte ich das Verständnis für Mathematik für wichtiger als die Anwendung von Formeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 Zwiebeln die ersten beiden in der Pflanzreihe nicht aufgehen, beträgt (hier p = 0.15)
P1 = p^2 * (1-p)^28
Die Wahrscheinlichkeit P1 gilt aber genauso für den Fall, dass die beiden Zwiebeln am Ende der Reihe stehen oder exakt auf Reihe Nummer 5 und 21.
Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass zwei beliebige Zwiebeln nicht aufgehen, dann gibt es (30 über 2) = 435 Fälle. Anders ausgedrückt kann man die zwei Zwiebeln in 435 Permutationen in der Pflanzreihe verteilen. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann
P2 = (30 über 2) * P1 = 435 * P1
Streng genommen steht P1 in Summe 435 mal.
Fragt man nach der Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zwiebeln paarweise nicht aufgehen, dann gibt es nur noch 29 Fälle. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt dann
P3 = 29 * P1
Streng genommen steht P1 in Summe 29 mal.
Beispiel:
Beim Würfeln gilt Ω = {1,2,3,4,5,6}. Angenommen es soll eine gerade Augenzahl fallen, dann ist A = {2,4,6}
|Ω| oder |A| meint die Mächtigkeit dieser Mengen. Die Mächtigkeit entspricht der Anzahl der Elemente in der Menge.
Die Schreibweise p = |A| / |Ω| oder p = 3/6 ist also gleichbedeutend. Gewöhnlich wählt man die letztere, weil jeder weiß, was gemeint ist.
u = (x,y,z)
v = (s*x, s*y, s*z)
u*v = s*x²+s*y²+s*z² = s(x²+y²+z²)
|u| = sqrt(x²+y²+z²)
|v| = sqrt(s²x²+s²y²+s²z²) = s*sqrt(x²+y²+z²)
|u|*|v| = sqrt(x²+y²+z²) * s*sqrt(x²+y²+z²) = s(x²+y²+z²)
Der Graph zeigt eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x). Der Erwartungswert der entsprechenden Zufallsvariablen X ist das Integral
über das gesamte Definitionsintervall. Das entspricht nicht zwingend dem Maximum der Dichtefunktion. Der Erwartungswert liegt deshalb nicht immer am Maximum der Dichtefunktion.
Der Zaun besteht nur aus 3 Seiten (b = Breite, t = Tiefe):
Zaunlänge = 2*t + b
Fläche : f(b,t) = b*t
Bedingung: f(b,t) = max
Nebenbedingung 2*t + b = 100
Daraus folgt b = 100 - 2*t, dann ist f(b,t) nur noch von t abhängig:
f(t) = b*t = (100 - 2*t)*t = 100t -2t²
f'(t) = 100 - 4t
f''(t) = -4
Extremstellen suchen:
f'(t) = 0 ?
100 - 4t = 0 für t = 25
Das ist ein Maximum, denn f''(25) < 0
t = 25
b = 50
Die Fläche beträgt 25*50 = 1250 m²
Der Verlauf der prozentualen Deckfläche an Seerosen lässt sich so modellieren:
t in Tagen, t € [0,48]
Die grosse Pyramide hat die Grundfläche von 10 x 10 cm und eine Höhe von 10 cm.
Die kleine Pyramide mit Wasser hat eine Höhe von 5 cm.
Aufgrund des Strahlensatzes ist die Grundfläche der kleinen Pyramide 5 x 5 cm.
Das Volumen der kleinen Pyramide beträgt dann 1/3 * a² * h = 125/3 cm³
Diese Menge an Wasser ist auf eine Fläche von 10x10 cm gefallen. 10x10 cm sind der hunderste Teil eines Quadratmeters. Der Niederschlag pro Quadratmeter beträgt 125/3*100 ~ 4166 cm³ ~ 4.2 Liter.
H0: p = 0.2
H1: p > 0.2
H0 wird abgelehnt, wenn zuviele Freikarten ausgegeben werden --> rechtsseitiger Test
Gesucht wird ein möglichst grosses k mit:
p(X >= k) <= 0.05
Berechnung über die Binomialverteilung n=40, p=0.2:
p(X >= 11) ~ 0.1608
p(X >= 12) ~ 0.0875
p(X >= 13) ~ 0.0432
Es müssten mindestens 13 Freikarten ausgegeben werden, um H0 abzulehnen.
10 Freikarten führen nicht zur Ablehnung von H0.
####
Nun soll die Irrtumswahrscheinlichkeit alpha gesucht werden, für die auch 10 Freikarten zur Ablehnung von H0 führen:
p(X >= 10) <= alpha
Berechnung über die Binomialverteilung n=40, p=0.2:
p(X >= 10) ~ 0.2682
Wenn mindestens 10 Freikarten zur Ablehnung von H0 führen, muss man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha ~ 26.8 % rechnen.
####
Im Fall der Binomialverteilung B(40,p) ist P(X >= 10) die Summe von
P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) + ... + P(X=39) + P(X=40) mit
Die kumulierte Binomialverteilung beherrschen viele Taschenrechner. Es gibt auch viele Online-Rechner im Netz. Man muss das also nicht manuell ausrechnen. Falls doch, gilt ja auch:
P(X >= 10) = 1 - P(X <= 9)
In diesem Fall müsste man "nur" folgende Summe berechnen:
f(x) = -0.2x² - 3x + 1.2
f'(x) = -0.4x - 3
Ein Steigungswinkel ergibt sich z.B. aus der Steigung einer Funktionstangente am Punkt (x,f(x)). Wählt man als x z.B. die positive Nullstelle von f(x): x1 ~ 0.389867, dann beträgt die Steigung der Tangente an dieser Nullstelle f'(x1) ~ --3.1559
Der Steigungswinkel der Tangente ist dann arctan(-3.1559). Der entsprechende Wert in Grad hängt von der Drehrichtung ab und auf welche Achse man 0 Grad bezieht.
Der Winkel im mathematischen Sinn beträgt pi + arctan(-3.1559) ~ 107.58°