Aufgabe b)
Die Gerade g2 durch BM lautet:
g2(r) = (5,3,3) + r*(2,-4,-1)
Die Kugelgleichung lautet:
(x-7)² + (y+1)² + (z-2=)² = 21
Geradengleichung in die Kugelgleichung einsetzen:
((5+2r)-7)² + ((3-4r)+1)² + ((3-r)-2)² = 21
Lösung r1 = 0, r2 = 2
g2(0) = B (wie zu erwarten)
g2(2) = (9,-5,1) (Schnittpunkt)
Bezieht man den Kraftpfeil des LKWs auf 0°, dann gilt in x-Richtung :
cos(180° - 70°) * Fb + cos(180° + 70°) * Fb + cos(0°) * 6.5 = 0
Daraus folgt:
Fb ≈ 9.50236 kN
e)
Die Punkte FGHK liegen auf der Ebene E: x + 2y + 2z = 34
Gerade PQ: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1)
Die Aufgabe ist unklar formuliert, denn hängt der obere Punkt, der Mittelpunkt oder der untere Punkt der Kugel drei Meter tiefer? Ich gehe mal davon aus, dass der Mittelpunkt 6 Meter tiefer hängt als das Seil. Der Mittelpunkt der Kugel läuft dann entlang der Geraden
h(s) = g(s) - (0,0,6)
Jetzt sucht man einen Punkt auf der Geraden h, der zur Ebene E den Abstand 3 hat.
d(A,E) = |1*Ax + 2*Ay + 2*Az - 34|/sqrt(1² + 2² + 2²)
Punkte aus h(s) einsetzen und d(A,E) = 3:
|1*(5+s) + 2*(-5-3s) + 2*(16.5+s) - 34|/3 = 3
Lösung s = -5 und A = h(-5) = (0,10,11.5)
Jetzt noch den Lotfußpunkt von A auf der Ebene E bestimmen:
S = (-1, 8, 9.5)
Jetzt muss man noch zeigen, dass S innerhalb der Dachfläche FGHK liegt. Dazu bildet man die
Gerade KS: m(t) = (-2,6,12) + t*(-3, -6, 7.5)
und die Gerade FG: k(r) = F + r*(G-F) = (8,6,7) + r*(-10,5,0)
Schnittpunkt von m und k berechnen:
-2 -3t = 8 -10r
6 - 6t = 6 + 5r
12 + 7.5t = 7
Lösung r = 0.8, t = -2/3, Schnittpunkt B = (0,10,7)
Wegen k(0) = F und k(1) = G, liegt der Schnittpunkt B = k(0.8) zwischen F und G. Damit ist bewiesen, dass S innerhalb des Trapezes liegt.
f)
Die Gerade g(s) lautet mit einem um a versetztem Q
g(s) = (5,-5,22.5) + s*(7,-21,7+a)
In der Aufgabe e) lag der unterste Punkt der Kugel bei -9 Meter relativ zu g.
Zusätzlich sollen 1.5 Meter Abstand bleiben und das Seil wurde um 1.5 gekürzt.
Der unterste Punkt der Kugel zusätzlich diesem Abstand läuft dann entlang der Geraden
h(s) = g(s) - (0,0,9)
Die Gerade durch HK lautet
k(t) = (4,3,12) + t*(-2,1,0)
Den Schnittpunkt von h(s) und k(t) berechnen:
5+7s = 4 -2*t
-5-21s = 3+t
22.5+(7+a)s - 9 = 12
Lösung: a = -7/2 s = -3/7 t = 1
Aufgrund g(-1) = Q gilt nun mit a = -7/2
g(-1) = (5,-5,22.5) + (-1)*(7,-21,7-7/2) = (-2, 16, 19). Der Mast muss um 3.5 Meter erhöht werden.
c)
Das Dach besteht aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken.
Die Fläche eines Dreiecks ergibt sich mithilfe des Kreuzprodukts:
|(H-F)x(H-E)|/2 = |(40, -20, 20)|/2 = 10*sqrt(6) m²
Die Fläche eines Trapezes ergibt sich mithilfe des Kreuzprodukts:
|(F-H)x(F-G)|/2 + |(K-H)x(K-G)|/2 = |(-25, -50, -50)|/2 + |(15, 30, 30)|/2 =
(75+45)/2 = 60 m²
Auch hier ist die Aufgabe schwammig formuliert. Die hintere Ecke des Hauses ist nicht angegeben. Man kann deshalb nur vermuten, dass die im Schaubild nicht sichtbaren Dachflächen identisch zu den vorderen sind. Die Gesamtfläche ist dann 2*60 + 20*sqrt(6) ~ 168.99 m²
d)
Seilbahn auf den Boden projizieren:
g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5) + s*(1, -3)
First auf den Boden projizieren:
h(t) = H + t*(H-K) = (4, 3) + t*(6,-3)
Schnittpunkt R von g und h berechnen:
Lösung s = -3, t = -1/3, R = (2,4)
Es gilt: h(-1) = K und h(0) = H
Wegen -1 < t < 0 liegt h(-1/3) = R zwischen den Punkten K und H. Somit ist bewiesen, dass die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft.
###
Seilbahn: g(s) = P + s*(P-Q) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1)
Lösung s von oben einsetzen: g(-3) = (2,4,19.5)
First: h(t) = H + t*(H-K) = (4, 3, 12) + t*(6,-3,0)
Lösung t von oben einsetzen: h(-1/3) = (2,4,12)
Somit beträgt der Abstand zwischen Seilbahn und First über dem Lotpunkt (2,4,0) 7.5 Meter.
### Alternative Lösung:
Man legt duch die Punkte H und K eine Ebene, die auf dem Boden senkrecht steht. Diese lautet E: x + 2y - 10 = 0
Gerade PQ: g(s) = (5, -5, 22.5) + s*(1, -3, 1) in die Ebene E einsetzen:
(5+s) + 2(-5-3s) - 10 = 0
Lösung s = -3, g(-3) = S = (2, 4, 19.5)
S ist der Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden PQ.
Weil sich der First auf der Höhe 12 befindet, beträgt der (senkrecht gemessene) Abstand von S zum First 19.5 - 12 = 7.5 Meter.
Der Höhenunterschied sagt noch nichts darüber aus, ob die Seilbahn über dem Dachfirst verläuft, denn die Seilbahn könnte theoretisch auch 1 km entfernt liegen, das würde am errechneten Höhenunterschied nichts ändern. Man muss noch zeigen, dass die Koordinate (2,4,12) zwischen den beiden Punkten H und K liegt (siehe oben).
1)
Für einen Extrempunkt an der Stelle x0 gilt die notwendige Bedingung f'(x0) = 0.
Hat das Polynom den Grad n, hat die Ableitung den Grad n-1. Ein Polynom vom Grad n kann deshalb maximal n-1 Extrempunkte haben (Nullstellen der ersten Ableitung).
Für einen Wendepunkt an der Stelle x0 gilt die notwendige Bedingung f''(x0) = 0.
Hat das Polynom den Grad n, hat die zweite Ableitung den Grad n-2. Ein Polynom vom Grad n kann deshalb maximal n-2 Wendepunkte haben (Nullstellen der zweiten Ableitung).
2)
Eine numerische Wertetabelle für den linksseitigen als auch rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle f(x0) ist kein Beweis für die Differenzierbarkeit einer Funktion. Dieser Beweis muss analytisch geführt werden.
3)
Ob ein Polynom verschoben ist, hängt einfach davon ab, ob und wie das originale Polynom definiert ist. Hat die höchste Potenz keinen Koeffizienten, sagt das nichts über eine mögliche Verschiebung aus. Beispiel :
f(x) = x³ + 9x² - 8x + 10
f(x-1) = (x-1)³ + 9(x-1)² - 8(x-1) + 10 = x³ + 6x² - 23x + 26
Die höchste Potenz hat in beiden Fällen den Koeffizienten 1.
Der Normalenvektor der Ebene lautet (4,4,-7). Ein dazu senkrechter Vektor z.B.
m = (1,-1,0)
Jetzt setzt man die Norm von m auf 3:
m = (3/sqrt(2), -3/sqrt(2), 0)
und addiert m auf F:
D = F + m ~ (4.12, -0.12, -3.5)
Der Abstand FD ist dann identisch zu FP. Es gibt unendlich viele Punkte D, da diese auf einem Kreis mit Radius 3 um F liegen (und auf der Ebene E).
Es ist übersichtlicher die Gleichungen in Form eines Gleichungssystems aufzuschreiben. Die Gleichung IV ist bereits mit 2 gekürzt:
1 -1 1 -1 1 | 0
16 8 4 2 1 | 6.75
32 12 4 1 0 | 0
24 6 1 0 0 | 0
-4 3 -2 1 0 | 0
II = II - I:
1 -1 1 -1 1 | 0
15 9 3 3 0 | 6.75
32 12 4 1 0 | 0
24 6 1 0 0 | 0
-4 3 -2 1 0 | 0
II = II - 3 * V:
1 -1 1 -1 1 | 0
27 0 9 0 0 | 6.75
32 12 4 1 0 | 0
24 6 1 0 0 | 0
-4 3 -2 1 0 | 0
III = III - V :
1 -1 1 -1 1 | 0
27 0 9 0 0 | 6.75
36 9 6 0 0 | 0
24 6 1 0 0 | 0
-4 3 -2 1 0 | 0
II = II - 9 * IV:
III = III - 6 * IV:
1 -1 1 -1 1 | 0
-189 -54 0 0 0 | 6.75
-108 -27 0 0 0 | 0
24 6 1 0 0 | 0
-4 3 -2 1 0 | 0
II = II - 2* III
1 -1 1 -1 1 | 0
27 0 0 0 0 | 6.75
-108 -27 0 0 0 | 0
24 6 1 0 0 | 0
-4 3 -2 1 0 | 0
Jetzt folgt aus II: a4 = 1/4
Dann aus III: a3 = -1
Dann aus IV: a2 = 0
Dann aus V: a1 = 4
Dann aus I: a0 = 11/4
Man trägt im Koordinatensystem eine Linie mit einem Winkel von a = 60° auf (siehe gestrichelte Linie). Das entspricht dem Winkel der Sonneneinstrahlung.
Auf der Höhe y = 301 ergibt sich dann der Schnittpunkt S. Dieser entspricht der Turmspitze.
Der Punkt A liegt auf dem Lot von S zum Boden.
Für den Abstand OA (Schattenlänge) gilt: OA*tan(60°) = 301
Daraus folgt: OA = 301/sqrt(3) ~ 173.78 m
Es gilt folgendes Additionstheorem :
(a) cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
Wegen sin²(x) = 1 - cos²(x) folgt:
(a) cos(2x) = cos²(x) - (1- cos²(x))
(a) cos(2x) = 2*cos²(x) - 1
(a) 2*cos²(x) = cos(2x) + 1
Weiter gilt folgende Beziehung:
(b) sec(x) = 1/cos(x)
Daraus folgt:
(b) sec²(x) = 1/cos²(x)
(b) 1/2 * sec²(x) = 1/(2*cos²(x))
(a) in (b) einsetzen:
1/2 * sec²(x) = 1/(cos(2x) + 1))
Mit der Substitution x -> x/2 folgt was zu beweisen war.
2c)
Die Funktion v ist eine lineare Funktion mit negativer Steigung:
aus x ---> +∞ folgt v(x) ---> -∞
aus x ---> -∞ folgt v(x) ---> +∞
Die Funktion u ist eine nach oben geöffnete Parabel:
aus x ---> +∞ folgt u(x) ---> +∞
aus x ---> -∞ folgt u(x) ---> +∞
###
f(x) = u( v(x) )
Der Grenzwert -∞ als auch der Grenzwert +∞ von v(x) wird durch die nachgeschaltete Funktion u(x) in +∞ umgewandelt. Daraus folgt:
aus x ---> +∞ folgt f(x) ---> +∞
aus x ---> -∞ folgt f(x) ---> +∞
###
g(x) = v( u(x) )
Der Grenzwert +∞ von u(x) wird durch die nachgeschaltete Funktion v(x) in -∞ verwandelt. Daraus folgt:
aus x ---> +∞ folgt g(x) ---> -∞
aus x ---> -∞ folgt g(x) ---> -∞
Bei einem Bernoulli Experiment gibt genau zwei mögliche Ereignisse.
Ob man beim Würfeln eine 6 würfelt oder nicht, ist das auch ein Bernoulli Experiment. Es gibt beim Würfeln zwar 6 Ergebnisse, aber man betrachtet nur die Ereignisse „6“ oder „keine 6“.
Das Ergebnis eines Fussballspiels hat dagegen drei mögliche Ereignisse. Betrachtet man jedoch nur die Ereignisse "Mannschaft A gewinnt" oder "Mannschaft A gewinnt nicht, einschließlich unentschieden", dann wäre das ein Bernoulli Experiment.
Antwort d) ist falsch.
Ab Minute 160 gilt für den Graphen f(x) = 110 - 1/2*x. Eine Nullstelle liegt bei x = 220.
Die (blaue) Fläche, die f(x) mit der Linie y = 30 einschließt, ist die Anzahl der vom Stau abgebauten Autos. Wäre f(x) konstant 30, würde der Stau von 700 Autos ewig bestehen bleiben, weil gleich viel Autos ankommen wie abgehen.
Diese Fläche soll 700 ergeben. Die Fläche ergbt sich aus dem Rechteck (C-A)*30 abzüglich dem Integral von f(x) über dem Intervall [160,t].
Die Stammfunktion von f(x) lautet F(x) = 110x - 1/4*x²
Gesucht ist t mit
(t-160)* 30 - (F(t) - F(160) = 700
(t-160)* 30 - (110t - 1/4*t² - (110*160 - 1/4*160²)) = 700
Lösung: t ~ 212.92 ~ 3 Stunden, 33 Minuten, d.h. um 9:33 Uhr.
Antwort e)
Ein Kästchen in der Graphik entsprechen 20*5 = 100 Autos.
Bei maximal 25 Autos pro Minute kommen zu den 700 Autos weitere 1/8 Kästchen links, 5 Kästchen in der Mitte und 1/4 Kästchen rechts hinzu, macht 700+12.5+500+25 = 1237.50 Autos im Stau.
Der Stauabbau beginnt bei Minute 170.
10 Uhr entspricht t = 240.
Die Anzahl der abgebauten Autos ist dann
(220-170)*25 - (F(220) - F(170)) + 20*30
(220-170)*25 - ((110*220 - 1/4*220²) - (110*170 - 1/4*170²)) + 20*30 = 1225 Autos
Klappt also nicht.
A: Talstation (auf einer Höhe von 1385 m)
C: Bergstation (Abstand AC = 540m)
AB: Abstand Talstation zu Bergstation (2.5 cm * 20000 = 500m)
Vermutlich ist der Abstand CB bzw. die absolute Höhe von C gesucht (ABC ist ein rechtwinkeliges Dreieck)
Aufgabe e):
f(x) = x³ - 3a²x + 2a³
f'(x) = 3x² - 3a²
f''(x) = 6x
f'(x) = 0 gilt für x = a oder x = -a
Aus der zweiten Ableitung ergibt sich:
f(a) ist ein lokales Minimum, falls a > 0
f(a) ist ein lokales Maximum, falls a < 0
f(a) ist ein Sattelpunkt für a = 0 (kein Extrempunkt).
Außerdem gilt: f(a) = a³ - 3a³ + 2a³ = 0, für alle a € R
Daher liegt auf der x-Achse für alle a > 0 ein lokales Minimum, und für a < 0 ein lokales Maximum.
lim x -> +0 x^a * sin(x³) = ∞ für a < -3
lim x -> +0 x^a * sin(x³) = 1 für a = -3
lim x -> +0 x^a * sin(x³) = 0 für a > - 3
Das folgt aus dem bekannten Grenzwert lim x --> 0 sin(x)/x = 1
###
lim x -> -0 |x|^b * cos(1/x²)
ist gleichbedeutend mit:
lim x -> +0 x^b * cos(1/x²)
cos(1/x²) oszilliert für x --> 0 in [-1, +1].
Deshalb muss lim x -> +0 x^b = 0 gelten.
Das ist nur für b > 0 der Fall.
Die Methode der Nullstellen ersten Ableitung lässt nur Rückschlüsse auf lokale Extremwerte zu. Ob es sich um globale Minima / Maxima handelt, hängt von den Werten der Funktion f an den Rändern des Definitionsintervalls ab.
Ist f im Defnitionsintervall nach oben/unten unbeschränkt, gibt es kein globales Maximum/Minimum.
Im konkreten Fall ist das Definitionsintervall [0,∞]
V(0) = 0
V(∞) --> ∞
V(d1) = ~ +3191.5
V(d2) = ~ -3191.5
Wegen V(0) = 0 ist d2 ein globales Minimum.
V ist im Definitionsintervall nach oben unbeschränkt, deshalb ist d1 kein globales Maximum, sondern nur ein lokales.
Mit dieser Methode ist die Berechnung der zweiten Ableitung unnötig.
Setzt man für phi die Werte 40° bzw. 80° ein, erhält man für AC1 und AC2 die gewünschten Ergebnisse (aufgerundet auf eine Kommastelle).
AC1 bzw. AC2 sind nur Richtungsvektoren. Um auf die Punkte C1 und C2 zu kommen, muss man noch den Ortsvektor A addieren:
C1 = A + AC1 ~ (5.12835554495182, 3.30540728933228)
C2 = A + AC2 ~ (0.38918542133544, 7.75877048314363)
ist identisch mit
Somit müssen die Faktoren k als auch (k+4) beide positiv oder beide negativ sein. Das gilt für k > 0 oder k < - 4. Die angegebene Lösung ist falsch.
Zunächst ist nach den Extrempunkten in Abhängigkeit von a gefragt:
f'(x) = 0 gilt für x1 = sqrt(a) oder x2 = - sqrt(a)
Bei x1 liegt ein lokales Minimum, denn f''(x1) > 0
Bei x2 liegt ein lokales Maximum, denn f''(x2) < 0
Im Sonderfall a = 0 liegt bei f(0) ein Sattelpunkt vor.
###
Damit ein Extrempunkt auf der x-Achse liegt, muss gelten:
f(x1) = 1/3*a*sqrt(a) - a*sqrt(a) = 0
oder
f(x2) = -1/3*a*sqrt(a) + a*sqrt(a) = 0
Das gilt nur für a = 0. Wie oben erwähnt liegt hier aber ein Sattelpunkt, und das ist kein Extrempunkt. Somit gibt es für keinen Wert von a einen Extrempunkt auf der x-Achse.
Es ist immer wieder erstaunlich, was in den Köpfen von Aufgabenstellern vor sich geht, so auch hier. Schon der erste Satz "Der Benzinverbrauch und die benötigte Zeit ändern sich mit der Anzahl der gefahrenen Kilometer" wirft ohne nähere Angaben Fragen auf.
Ist mit "Benzinverbrauch" der Durchschnittswert pro 100km gemeint oder der absolute Verbrauch? In beiden Fällen hängt der Benzinverbrauch nicht zwingend von der Anzahl der gefahrenen Kilometer ab. Verbraucht man z.B. für 100 km 7 Liter Benzin, kann man bei bei entsprechend schneller Fahrweise auch für die Hälfte der Strecke die gleiche Menge an Benzin verbrauchen.
Auch die benötige Zeit ändert sich nicht zwingend mit der Anzahl der gefahrenen Kilometer. Eine Strecke von 50 Kilometern benötigt bei einer Geschwindigkeit von 50km/h eine Stunde. Die doppelte Strecke benötigt bei doppelter Geschwindigkeit ebenfalls eine Stunde.
Die nächste Verwirrung folgt auf dem Fuß. „Am Anfang der Fahrt werden 3 Liter verbraucht, dann jede Woche ½ Liter mehr“. Wie ist das zu verstehen? Wird die zurück gelegte Strecke jede Woche länger, oder drückt der Fahrer jede Woche einfach nur stärker aufs Gaspedal?
Aufgrund der Angaben im Text lässt sich der Benzinverbrauch in Abhängigkeit der Anzahl an Wochen angeben:
Fahrt 1: Benzinverbrauch(w) = 3 + 1/2*t, w in Wochen
Fahrt 2: Benzinverbrauch(w) = 2.5 + 4/5*w, w in Wochen
Wie bereits erwähnt, was ist mit Benzinverbrauch gemeint? Der Durchschnitt pro 100 km oder der absolute Verbrauch? Wie nun die Abhängigkeit des Benzinverbrauchs mit den gefahrenen Kilometer in Verbindung gebracht werden soll, ist aufgrund der obigen Ungereimtheiten auch mir unklar.
Falls jemand meint, das sei doch klar, der Aufgabensteller hätte sicherlich dies oder das gemeint. Dann soll der Aufgabensteller das doch bitte auch klar formulieren.
H0: Die Kacheln sind 3. Wahl, p0 = 0.3
H1: Die Kacheln sind 1. Wahl, p1 = 0.1
Wegen p1 < p0 führt man einen linksseitigen Test auf Basis der Binomialverteilung n=50, p=0.3 durch.
P(X<=k) <= 0.1
Das gilt für k = 10.
Annahme von H0: k € [11, 50]
Ablehnung von H0: k € [0, 10]