Bei einem Bernoulli Experiment gibt genau zwei mögliche Ereignisse.

Ob man beim Würfeln eine 6 würfelt oder nicht, ist das auch ein Bernoulli Experiment. Es gibt beim Würfeln zwar 6 Ergebnisse, aber man betrachtet nur die Ereignisse „6“ oder „keine 6“.

Das Ergebnis eines Fussballspiels hat dagegen drei mögliche Ereignisse. Betrachtet man jedoch nur die Ereignisse "Mannschaft A gewinnt" oder "Mannschaft A gewinnt nicht, einschließlich unentschieden", dann wäre das ein Bernoulli Experiment.

A: Talstation (auf einer Höhe von 1385 m)

C: Bergstation (Abstand AC = 540m)

AB: Abstand Talstation zu Bergstation (2.5 cm * 20000 = 500m)

Vermutlich ist der Abstand CB bzw. die absolute Höhe von C gesucht (ABC ist ein rechtwinkeliges Dreieck)

Aufgabe e):

f(x) = x³ - 3a²x + 2a³

f'(x) = 3x² - 3a²

f''(x) = 6x

f'(x) = 0 gilt für x = a oder x = -a

Aus der zweiten Ableitung ergibt sich:

f(a) ist ein lokales Minimum, falls a > 0 

f(a) ist ein lokales Maximum, falls a < 0 

f(a) ist ein Sattelpunkt für a = 0 (kein Extrempunkt).

Außerdem gilt: f(a) = a³ - 3a³ + 2a³ = 0, für alle a € R

Daher liegt auf der x-Achse für alle a > 0 ein lokales Minimum, und für a < 0 ein lokales Maximum.

lim x -> +0 x^a * sin(x³) = ∞ für a < -3

lim x -> +0 x^a * sin(x³) = 1 für a = -3

lim x -> +0 x^a * sin(x³) = 0 für a > - 3

Das folgt aus dem bekannten Grenzwert lim x --> 0 sin(x)/x = 1

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lim x -> -0 |x|^b * cos(1/x²)

ist gleichbedeutend mit:

lim x -> +0 x^b * cos(1/x²)

cos(1/x²) oszilliert für x --> 0 in [-1, +1].

Deshalb muss lim x -> +0 x^b = 0 gelten.

Das ist nur für b > 0 der Fall.

Die Methode der Nullstellen ersten Ableitung lässt nur Rückschlüsse auf lokale Extremwerte zu. Ob es sich um globale Minima / Maxima handelt, hängt von den Werten der Funktion f an den Rändern des Definitionsintervalls ab.

Ist f im Defnitionsintervall nach oben/unten unbeschränkt, gibt es kein globales Maximum/Minimum.

Im konkreten Fall ist das Definitionsintervall [0,∞]

V(0) = 0

V(∞) --> ∞

V(d1) = ~ +3191.5

V(d2) = ~ -3191.5

Wegen V(0) = 0 ist d2 ein globales Minimum.

V ist im Definitionsintervall nach oben unbeschränkt, deshalb ist d1 kein globales Maximum, sondern nur ein lokales.

Mit dieser Methode ist die Berechnung der zweiten Ableitung unnötig.

Setzt man für phi die Werte 40° bzw. 80° ein, erhält man für AC1 und AC2 die gewünschten Ergebnisse (aufgerundet auf eine Kommastelle).

AC1 bzw. AC2 sind nur Richtungsvektoren. Um auf die Punkte C1 und C2 zu kommen, muss man noch den Ortsvektor A addieren:

C1 = A + AC1 ~ (5.12835554495182, 3.30540728933228)

C2 = A + AC2 ~ (0.38918542133544, 7.75877048314363)



ist identisch mit





Somit müssen die Faktoren k als auch (k+4) beide positiv oder beide negativ sein. Das gilt für k > 0 oder k < - 4. Die angegebene Lösung ist falsch.

Zunächst ist nach den Extrempunkten in Abhängigkeit von a gefragt:

f'(x) = 0 gilt für x1 = sqrt(a) oder x2 = - sqrt(a)

Bei x1 liegt ein lokales Minimum, denn f''(x1) > 0

Bei x2 liegt ein lokales Maximum, denn f''(x2) < 0

Im Sonderfall a = 0 liegt bei f(0) ein Sattelpunkt vor.

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Damit ein Extrempunkt auf der x-Achse liegt, muss gelten:

f(x1) = 1/3*a*sqrt(a) - a*sqrt(a) = 0

oder

f(x2) = -1/3*a*sqrt(a) + a*sqrt(a) = 0

Das gilt nur für a = 0. Wie oben erwähnt liegt hier aber ein Sattelpunkt, und das ist kein Extrempunkt. Somit gibt es für keinen Wert von a einen Extrempunkt auf der x-Achse.

Es ist immer wieder erstaunlich, was in den Köpfen von Aufgabenstellern vor sich geht, so auch hier. Schon der erste Satz "Der Benzinverbrauch und die benötigte Zeit ändern sich mit der Anzahl der gefahrenen Kilometer" wirft ohne nähere Angaben Fragen auf.

Ist mit "Benzinverbrauch" der Durchschnittswert pro 100km gemeint oder der absolute Verbrauch? In beiden Fällen hängt der Benzinverbrauch nicht zwingend von der Anzahl der gefahrenen Kilometer ab. Verbraucht man z.B. für 100 km 7 Liter Benzin, kann man bei bei entsprechend schneller Fahrweise auch für die Hälfte der Strecke die gleiche Menge an Benzin verbrauchen.

Auch die benötige Zeit ändert sich nicht zwingend mit der Anzahl der gefahrenen Kilometer. Eine Strecke von 50 Kilometern benötigt bei einer Geschwindigkeit von 50km/h eine Stunde. Die doppelte Strecke benötigt bei doppelter Geschwindigkeit ebenfalls eine Stunde.

Die nächste Verwirrung folgt auf dem Fuß. „Am Anfang der Fahrt werden 3 Liter verbraucht, dann jede Woche ½ Liter mehr“. Wie ist das zu verstehen? Wird die zurück gelegte Strecke jede Woche länger, oder drückt der Fahrer jede Woche einfach nur stärker aufs Gaspedal?

Aufgrund der Angaben im Text lässt sich der Benzinverbrauch in Abhängigkeit der Anzahl an Wochen angeben:

Fahrt 1: Benzinverbrauch(w) = 3 + 1/2*t, w in Wochen

Fahrt 2: Benzinverbrauch(w) = 2.5 + 4/5*w, w in Wochen

Wie bereits erwähnt, was ist mit Benzinverbrauch gemeint? Der Durchschnitt pro 100 km oder der absolute Verbrauch? Wie nun die Abhängigkeit des Benzinverbrauchs mit den gefahrenen Kilometer in Verbindung gebracht werden soll, ist aufgrund der obigen Ungereimtheiten auch mir unklar.

Falls jemand meint, das sei doch klar, der Aufgabensteller hätte sicherlich dies oder das gemeint. Dann soll der Aufgabensteller das doch bitte auch klar formulieren.

H0: Die Kacheln sind 3. Wahl, p0 = 0.3

H1: Die Kacheln sind 1. Wahl, p1 = 0.1

Wegen p1 < p0 führt man einen linksseitigen Test auf Basis der Binomialverteilung n=50, p=0.3 durch.

P(X<=k) <= 0.1

Das gilt für k = 10.

Annahme von H0: k € [11, 50]

Ablehnung von H0: k € [0, 10]

Im Fall der Standardabweichung gilt

P( µ - σ < X < µ + σ ) = 2*34.1 = 68.2%

Sollen die beiden Schranken ganzzahlig bestimmt werden, muss man µ - σ ganzzahlig aufrunden, und µ + σ ganzzahlig abrunden. Ansonsten würde man das Integrationsintervall auf beiden Seiten überschreiten.

15 - 3.7 = 11.3 --> 12

15 + 3.7 = 18.7 --> 18

Die Funktion f(x) = cosh(x) bildet wie exp(x) eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung:



Aus



und



folgt die gesuchte Gleichung.

Die einzelnen Terme der Reihe kann man auch so schreiben:



Damit entspricht die Reihe der geometrischen Reihe



mit q = 1/sqrt(2). Der Grenzwert ergibt sich somit zu 2 + sqrt(2).

Grundsätzlich kann man davon ausgehen, dass unterschiedliche Interessengruppen gegensätzliche Nullhypothesen aufstellen. Es ist völlig richtig: Hersteller und Großkunde würden konträr zur Aufgabenstellung testen. Aber warum nicht. Die Sinnhaftigkeit des Vorgehens steht erst mal nicht zur Debatte.

Hersteller:

H0:p=0.9 gegen H1:p<0.9. Wegen p1 < p0 folgt ein linksseitiger Test.

BNP(X <= k) < 0.05 gilt für k <= 84

Sind weniger als 85 Kugelschreiber funktionsfähig, wird H1 angenommen.

Großkunde:

H0:p=0.9 gegen H1:p>0.9. Wegen p1 > p0 folgt ein rechtsseitiger Test.

BNP(X >= k) < 0.05 gilt für k >= 96

Sind mehr 95 Kugelschreiber funktionsfähig, wird H1 angenommen.

Außerdem würde es ja auch noch schließlich heißen, dass der Großkunde eine Lieferung mit 0 Kugelschreibern, die in Ordnung sind, annimmt.

Das ist so nicht richtig. Der Großkunde möchte testen, ob p > 0.9 gilt. Befindet sich kein funktionsfähiger Kugelschreiber in der Stichprobe, kann H1 nicht angenommen werden. Das wiederum impliziert, dass die Nullhypothese weiterhin gilt. Mehr Schlüsse lassen sich daraus nicht ziehen. Dazu muss erst eine neue Hypothese aufgestellt werden (z.B. die des Herstellers).

Die Lösung ist richtig, lässt sich aber auch einfach berechnen:

A(x) = 16*(cos(x) + sin(x)*cos(x))

A'(x) = 16*(cos²(x) - sin²(x) - sin(x))

A' wird Null für:

cos²(x) - sin²(x) - sin(x) = 0

Auf beiden Seiten 2*sin²(x) addieren:

cos²(x) + sin²(x) - sin(x) = 2*sin²(x)

Wegen cos²(x) + sin²(x) = 1:

1 - sin(x) = 2*sin²(x)

Das ist eine quadratische Gleichung der Form:

2*x² + x - 1 = 0

Mit der Lösung:

x1 = -1, x2 = 1/2

-1 liegt nicht im Definitionsbereich, deshalb verbleibt sin(x) = 1/2 mit x = 30°

N1x1 ist die Nullstelle von f(x):

4x - 9 = 0 --> x = 9/4

N2x2 ist die Nullstelle von g(x):

-4x + 23 = 0 --> x = 23/4

Schnittpunkt S der beiden Graphen:

4x - 9 = -4x + 23

8x = 32 --> Sx = 4, Sy = f(4) = 7

Länge der Basis ist der Abstand der beiden Punkte N1 und N2 = 23/4 - 9/4 = 14/4

Bei drei Münzwürfen gibt es 8 Möglichkeiten.

3x Kopf: 1 Möglichkeit mit p1 = 1/8 

2x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p2 = 3/8

1x Kopf: 3 Möglichkeiten mit p3 = 3/8

0x Kopf: 1 Möglichkeit mit p4 = 1/8

Sei X die Anzahl von Kopf bei 3 Würfen:

E(X) = µ = 3*p1 + 2*p2 + 1*p3 + 0*p4 = 1.5

Var(X) = (3-µ)²*p1 + (2-µ)²*p2 + (1-µ)²*p3 + (0-µ)²*p4 = 0.75

Standardabweichung = sqrt(0.75) 

Vermutung für n Würfe :

E(X)= n/2

Var(X) = n/4

Bei der Anwendung des Logarithmus für die Lösung von Exponentialgleichungen spielt die Basis des Logarithmus i.A. kein Rolle.





Im Fall der Gleichung:



hilft der Logarithmus jedoch nicht weiter:



Eine Lösung findet man nur mithilfe der Lambertschen W-Funktion f(x) = x*e^x

Ein Ellipsoid sieht aus wie der Rand eines Eis. Die Ebene 3x-y = 0 schneidet den Rand schräg. Die Schnittmenge ist die Ellipse 2x² + z²/4 = 1.

Die Aufgabe löst man mit dem Lagrange-Verfahren:

Nebenbedingung 1: x² + y²/9 + z²/4 - 1 = 0

Nebenbedingung 2: 3x-y = 0

Lagrangefunktion:

L = x²*y²*z² + s*(x² + y²/9 + z²/4 - 1) + t*(3x-y)

partielle Ableitungen:

L/dx = 2x(s+y²z²) + 3t

L/dy = 2/9*y(s+9x²z²)-t

L/dz = 1/2*z(s+4x²y²)

L/ds = z²/4 + y²/9 + x² - 1

L/dt = 3x-y

Setzt man alle Ableitungen 0, entsteht ein GLS, das man nach x,y,z auflösen kann.

Lösung Maximum: x = +- 1/sqrt(3), y = +- sqrt(3), z = +- 2/sqrt(3)

Wobei die Vorzeichen von x und y gleich gewählt werden müssen. Das führt zu vier Extrempunkten.

Lösung Minimum: x = y = 0, z = +- 2

Weil mich die Frage interessiert, habe ich ein Programm geschrieben, welche alle Fälle analysiert. Die Software kommt auf 1092 Möglichkeiten. Vorausgesetzt, dass immer alle vier grüne, blaue, rote Perlen verwendet werden müssen.

Für jede erste Farbe kommt man somit auf 1092/3 = 364 Möglichkeiten.

Nach jeder Farbe gibt es nur zwei Möglichkeiten der Fortsetzung. Kombinatorik ist trotzdem schwierig, weil je nach vorheriger Farbwahl die Perlen entsprechender Farbe für den Rest der Kette fehlen.

Eine Formel habe ich bisher nicht gefunden. Zumindestens kann man das Ergebnis 1092 zur Überprüfung einer Formel verwenden.