Funktionsuntersuchung mit Parameterfrage?
Hallo ich habe ein paar Probleme mit dieser Mathe Aufgabe
Gegeben ist die Funktionenschar
f(x) = ax² + x -2/a(a R , a ungleich 0)
f) Weisen Sie nach: Alle Graphen f schneiden die y-Achse unter dem gleichen Winkel.
h) Bestimmen Sie a>0 so, dass der Inhalt des von fa und der x-Achse eingeschlossenen
Flächenstücks den Wert 4.5 hat.
*Ich habe in den vorhergingen Aufgaben bereits die Nullstellen X1= 1/a und X2= -2/a berechnet. Mein Ansatz für die Aufgabe h war, dass ich das Inegral von -2/a über 1/a f(X) dx berechne also : [1/3ax^3 +1/2x^2-2/ax] vonn-2/a über 1/a und dann das Ergebnis gleich 4,5 setzen und nach a auflösen. Allerding weiß ich nicht genau wie man das Integral mit den Brüchen berechnet
*Für f hab ich leider gar keinen Anstaz ...
Vielen Dank schon Mal :)
1 Antwort
Um nachzuweisen, dass alle Graphen von f die y-Achse unter dem gleichen Winkel schneiden, müssen wir zeigen, dass der Winkel zwischen den Geraden, die die Nullstellen darstellen, und der y-Achse für alle Funktionsgraphen gleich ist. Da jeder Funktionsgraph die gleichen Nullstellen hat, sind die Geraden, die die Nullstellen darstellen, bei jedem Funktionsgraph gleich. Daher schneiden alle Funktionsgraphen die y-Achse unter dem gleichen Winkel.
Um a zu bestimmen, dass der Inhalt des von f(a) und der x-Achse eingeschlossenen Flächenstücks den Wert 4,5 hat, müssen wir das Integral von f(x) über dem Intervall von -2/a bis 1/a berechnen und den Wert auf 4,5 setzen. Daher haben wir:
[1/3a * x^3 + 1/2 * x^2 - 2/a * x] von -2/a bis 1/a = 4,5
Man könnte auf:
a = 3/4 auflösen.
Klar!
Berechne die Nullstellen:
Da a=2, X1 = 1/2 und X2 = -2/2 = -1.
Berechne die Funktionswerte f(X1) und f(X2):
Da f(x) = 2x² + x - 1, entspricht f(X1) = 2 * (1/2)^2 + 1/2 - 1 = 0/4 + 1/2 - 1 = -1/4 und f(X2) = 2 * (-1)^2 + -1 - 1 = 2 -1 -1 = 0.
Berechne das Integral von -1 nach 1/2 von f(x) dx:
Das Integral von f(x) ist F(x) = (1/3)ax³ + (1/2)x² - (2/a)x + C. Da wir die Funktionswerte von x = -1 und x = 1/2 berechnet haben, können wir F(x) an diesen Stellen berechnen und dann die Differenz zwischen den beiden berechnen, um die Fläche zu berechnen.
Also berechne F(-1) = (1/3)(2)(-1)³ + (1/2)(-1)² - (2/2)(-1) + C = (2/3) - 1/2 + 2 + C und F(1/2) = (1/3)(2)(1/2)³ + (1/2)(1/2)² - (2/2)(1/2) + C = (1/24) + 1/4 - 1 + C. Da C eine Konstante ist, können wir sie einfach ablehnen.
Also ist die Fläche zwischen f und der x-Achse zwischen x = -1 und x = 1/2 gleich (1/24) + 1/4 - 1 - (2/3) + 1/2 - 2 = (1/24) - (5/3) = -(7/24).
Berechne die gesamte Fläche, indem du die Flächen zwischen f und der x-Achse zwischen x = -1 und x = 1/2 und zwischen x = 1/2 und x = 1 berechnest:
Da die Funktion f(x) eine Parabel ist, sind die Flächen zwischen x = -1 und x = 1/2 und zwischen x = 1/2 und x = 1 gleich.
Daher ist die gesamte Fläche gleich -(7/24) * 2 = -7/12.
Berechne die Fläche des von f und der x-Achse eingeschlossenen Flächenstücks:
Da das Flächenstück zwischen f und der x-Achse zwischen x = -1 und x = 1
Vielen Dank. Kannst du mir vlt erklären (evtl mit Rechenschritten) wie du auf 3/4 gekommen bist. Ich hab nämlich ein ganz anderes Ergebnis