Funktionsuntersuchung mit Parameterfrage?

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Um nachzuweisen, dass alle Graphen von f die y-Achse unter dem gleichen Winkel schneiden, müssen wir zeigen, dass der Winkel zwischen den Geraden, die die Nullstellen darstellen, und der y-Achse für alle Funktionsgraphen gleich ist. Da jeder Funktionsgraph die gleichen Nullstellen hat, sind die Geraden, die die Nullstellen darstellen, bei jedem Funktionsgraph gleich. Daher schneiden alle Funktionsgraphen die y-Achse unter dem gleichen Winkel.

Um a zu bestimmen, dass der Inhalt des von f(a) und der x-Achse eingeschlossenen Flächenstücks den Wert 4,5 hat, müssen wir das Integral von f(x) über dem Intervall von -2/a bis 1/a berechnen und den Wert auf 4,5 setzen. Daher haben wir:

[1/3a * x^3 + 1/2 * x^2 - 2/a * x] von -2/a bis 1/a = 4,5

Man könnte auf:

a = 3/4 auflösen.


FragenstellerAM 
Beitragsersteller
 04.02.2023, 22:44

Vielen Dank. Kannst du mir vlt erklären (evtl mit Rechenschritten) wie du auf 3/4 gekommen bist. Ich hab nämlich ein ganz anderes Ergebnis

Webclon  04.02.2023, 23:22
@FragenstellerAM

Klar!

Berechne die Nullstellen:

Da a=2, X1 = 1/2 und X2 = -2/2 = -1.

Berechne die Funktionswerte f(X1) und f(X2):

Da f(x) = 2x² + x - 1, entspricht f(X1) = 2 * (1/2)^2 + 1/2 - 1 = 0/4 + 1/2 - 1 = -1/4 und f(X2) = 2 * (-1)^2 + -1 - 1 = 2 -1 -1 = 0.

Berechne das Integral von -1 nach 1/2 von f(x) dx:

Das Integral von f(x) ist F(x) = (1/3)ax³ + (1/2)x² - (2/a)x + C. Da wir die Funktionswerte von x = -1 und x = 1/2 berechnet haben, können wir F(x) an diesen Stellen berechnen und dann die Differenz zwischen den beiden berechnen, um die Fläche zu berechnen.

Also berechne F(-1) = (1/3)(2)(-1)³ + (1/2)(-1)² - (2/2)(-1) + C = (2/3) - 1/2 + 2 + C und F(1/2) = (1/3)(2)(1/2)³ + (1/2)(1/2)² - (2/2)(1/2) + C = (1/24) + 1/4 - 1 + C. Da C eine Konstante ist, können wir sie einfach ablehnen.

Also ist die Fläche zwischen f und der x-Achse zwischen x = -1 und x = 1/2 gleich (1/24) + 1/4 - 1 - (2/3) + 1/2 - 2 = (1/24) - (5/3) = -(7/24).

Berechne die gesamte Fläche, indem du die Flächen zwischen f und der x-Achse zwischen x = -1 und x = 1/2 und zwischen x = 1/2 und x = 1 berechnest:

Da die Funktion f(x) eine Parabel ist, sind die Flächen zwischen x = -1 und x = 1/2 und zwischen x = 1/2 und x = 1 gleich.

Daher ist die gesamte Fläche gleich -(7/24) * 2 = -7/12.

Berechne die Fläche des von f und der x-Achse eingeschlossenen Flächenstücks:

Da das Flächenstück zwischen f und der x-Achse zwischen x = -1 und x = 1